Bổ Đề Tiếp Tuyến

You are currently browsing articles tagged Bổ Đề Tiếp Tuyến.

Trong Shortlist IMO 2001 có bài toán

Bài toán. Cho số nguyên tố $p$ lớn hơn $5$, chứng minh rằng có một phần tử $a$ của nhóm các ước của đơn vị mod $p$ (tức là $a\in\mathcal U_p=\{1,\,2,\,\ldots ,\,p-1\}$), sao cho\[{v_p}\left( {{a^{p – 1}} – 1} \right) = {v_p}\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^{p – 1}} – 1} \right) = 1.\]Đây là một bài toán có lời giải dùng đến thương đồng dư khá thú vị, như sau Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.

P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Bổ đề sau tuy đơn giản, nhưng có ý nghĩa lớn trong việc nâng bậc đồng dư. Nó là mấu chốt cho việc chứng minh hệ thống bổ đề LTE.

Bổ Đề. Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $p$ là số nguyên tố và $x \equiv a\pmod p$, khi đó
\[P(x) \equiv P(a) + (x – a)P'(a)\pmod{p^2}.\]

Chứng minh. Do tính đóng của các phép toán số học với quan hệ đồng dư, nên thực chất bổ đề này chỉ cần chứng minh với trường hợp $P(x)=x^n$. Lúc đó, chỉ cần viết ra hằng đẳng thức sau là thấy ngay Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Dưới đây là lời giải cho một bài toán rất khó về tính chất số học của đa thức.

Bài toán. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải.  Giả sử $P(x)$ và $m$ là đa thức và số nguyên dương thỏa mãn, ta có 2 nhận xét sau:

Nhận xét 1. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^nP(n)$ thì $p\mid P'(n).$

Chứng minh. Ta có $v_p\left(m+2^nP(n)\right)\ge 2$, theo Fermat bé thì\[m + {2^n}P\left( n \right) \equiv m + {2^{n + p\left( {p – 1} \right)}}P\left( {n + p\left( {p – 1} \right)} \right)\pmod{p}.\]Vì thế ta lại có $v_p\left(m+2^{n+p(p-1)}P\left(n+p(p-1)\right)\right)\ge 2$, theo bổ đề tiếp tuyến và định lý Euler ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,