Bài Tập Vặt

You are currently browsing articles tagged Bài Tập Vặt.

Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $$M=|17\cos x+19\sin x|+|11\cos x+23\sin x|.$$

Lời giải. Xét các số phức $$z=\cos x+i\sin x,\quad \alpha =11-23i,\quad \beta=17-19i.$$Đặt $e=\frac{\beta}{\alpha}$, ta có $|e|=1$ và có các biến đổi-đánh giá sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Cho $p$ là số nguyên tố và các số nguyên dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

  • $a^2+ab+b^2$ chia hết cho $p$.
  • $a^5+b^5+c^5$ chia hết cho $p$.
  • $p$ không là ước của $a+b+c$.

Chứng minh rằng $p\equiv 1\pmod 6$. Read the rest of this entry »

Tags: ,

Bài toán.  Một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ gọi là “cặp số tốt” nếu như $a$ và $b$ có cùng tập ước nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại vô số các “cặp số tốt” $(m,\,n)$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho $(m+1,\,n+1)$ cũng là “cặp số tốt”.

Lời giải. Với số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$ bất kỳ, ta chọn $m=2^{k+1}\left(2^{k-1}-1\right)$ và $n=2\left(2^{k-1}-1\right)$. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài toán T3/493 trên THTT (tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ), có nội dung như sau.

Bài toán. Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[2^m=n^3-5n+10.\]

Bài toán này, có lời giải đăng trên báo THTT số 497. Tuy nhiên rất tiếc là lời giải bị sai bét, do mắc một sai lầm hết sức ngây thơ, đó là với $a,\,m$ là các số nguyên dương chẵn $b,\,n$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $ab=mn$ thì kéo theo $a=m$ và $b=n$.

Sau đây, là một lời giải đúng cho bài toán đó. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài toán. Cho các số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $0<a<b<c$ và\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c &= 6,\\ab + bc + ca &= 9.\end{array} \right.\]Chứng minh rằng $a<1$ và $c<4$.

Lời giải. Ta có\[\begin{array}{l}
\left( {1 – a} \right)\left( {1 – b} \right)\left( {1 – c} \right) = 1 – \left( {a + b + c} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) – abc = 4 – abc.\\
\left( {4 – a} \right)\left( {4 – b} \right)\left( {4 – c} \right) = 64 – 16\left( {a + b + c} \right) + 4\left( {ab + bc + ca} \right) – abc = 4 – abc.
\end{array}\]

  1. Nếu $a\ge 1$ thì do $1\le a<b<c$, nên $(1-a)(1-b)(1-c)=4-abc\le 0$. Tuy nhiên khi $a\ge 1$ thì $b>1$ từ đó $c=6-a-b<4$, nên ta có điều vô lý là\[(4-a)(4-b)(4-c)=4-abc> 0.\]
  2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với chú ý là $a<b$, ta có\[\begin{array}{l}
    9 &= ab + \left( {a + b} \right)c\\
    &\le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} + \left( {a + b} \right)c\\
    &= \frac{1}{4}{\left( {6 – c} \right)^2} + \left( {6 – c} \right)c\\
    &= 9 + \frac{3}{4}c\left( {4 – c} \right).
    \end{array}\]Từ đó sẽ có $c<4$.

Tags: , ,

Có bài toán độ ra bài trắc nghiệm liên quan đến bài phương trình hàm sau đây.

Bài toán. Tìm hàm số lẻ $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(x+1)=1+f(x)$ với mọi số thực $x$ và với mỗi số thực $x$ khác $0$ ta lại có\[f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\] Read the rest of this entry »

Tags:

Bài tính tích phân sau, sử dụng biến đổi vi phân cho vui :D.
Bài toán. Tính tích phân\[I=\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 + {x^2}} } {\rm{d}}x.\]Lời giải. Đặt $\sqrt{x^2+1}=t$ ta có $t^2=x^2+1$ nên có $xdx=tdt$ và Read the rest of this entry »

Tags: ,

Bài tích phân sau đây, được xử lý bằng việc biến thiên cận.

Bài toán. Tính tích phân\[I=\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {{x^3} + 3{x^2} – 2} \right)^{2019}{\rm{d}}x} .\] Read the rest of this entry »

Tags:

Có bạn muốn trao đổi về bài toán 😀
Bài toán. Tính tích phân \[I=\int {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}dx}. \]Tôi có lời giải như sau đây. Read the rest of this entry »

Tags:

Có bạn muốn trao đổi về bài toán cơ bản sau đây.

Bài toán. Cho các hằng số thực $a$ và $b$, tinh tích phân $$I=\displaystyle{\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + ax + b} }}}}.$$
Lời giải. 
Đặt $\sqrt{x^2+ax+b}=t$, ta có $t^2=x^2+ax+b$, nên lấy vi phân sẽ có\[2tdt = \left( {2x + a} \right)dx.\]Từ đây, áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, có Read the rest of this entry »

Tags: