Bài Tập Vặt

You are currently browsing articles tagged Bài Tập Vặt.

Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $$M=|17\cos x+19\sin x|+|11\cos x+23\sin x|.$$

Lời giải. Xét các số phức $$z=\cos x+i\sin x,\quad \alpha =11-23i,\quad \beta=17-19i.$$Đặt $e=\frac{\beta}{\alpha}$, ta có $|e|=1$ và có các biến đổi-đánh giá sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán.  Một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ gọi là “cặp số tốt” nếu như $a$ và $b$ có cùng tập ước nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại vô số các “cặp số tốt” $(m,\,n)$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho $(m+1,\,n+1)$ cũng là “cặp số tốt”.

Lời giải. Với số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$ bất kỳ, ta chọn $m=2^{k+1}\left(2^{k-1}-1\right)$ và $n=2\left(2^{k-1}-1\right)$. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài toán T3/493 trên THTT (tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ), có nội dung như sau.

Bài toán. Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[2^m=n^3-5n+10.\]

Bài toán này, có lời giải đăng trên báo THTT số 497. Tuy nhiên rất tiếc là lời giải bị sai bét, do mắc một sai lầm hết sức ngây thơ, đó là với $a,\,m$ là các số nguyên dương chẵn $b,\,n$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $ab=mn$ thì kéo theo $a=m$ và $b=n$.

Sau đây, là một lời giải đúng cho bài toán đó. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài toán. Cho các số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $0<a<b<c$ và\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c &= 6,\\ab + bc + ca &= 9.\end{array} \right.\]Chứng minh rằng $a<1$ và $c<4$.

Lời giải. Ta có\[\begin{array}{l}
\left( {1 – a} \right)\left( {1 – b} \right)\left( {1 – c} \right) = 1 – \left( {a + b + c} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) – abc = 4 – abc.\\
\left( {4 – a} \right)\left( {4 – b} \right)\left( {4 – c} \right) = 64 – 16\left( {a + b + c} \right) + 4\left( {ab + bc + ca} \right) – abc = 4 – abc.
\end{array}\]

  1. Nếu $a\ge 1$ thì do $1\le a<b<c$, nên $(1-a)(1-b)(1-c)=4-abc\le 0$. Tuy nhiên khi $a\ge 1$ thì $b>1$ từ đó $c=6-a-b<4$, nên ta có điều vô lý là\[(4-a)(4-b)(4-c)=4-abc> 0.\]
  2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với chú ý là $a<b$, ta có\[\begin{array}{l}
    9 &= ab + \left( {a + b} \right)c\\
    &\le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} + \left( {a + b} \right)c\\
    &= \frac{1}{4}{\left( {6 – c} \right)^2} + \left( {6 – c} \right)c\\
    &= 9 + \frac{3}{4}c\left( {4 – c} \right).
    \end{array}\]Từ đó sẽ có $c<4$.

Tags: , ,