Sự tương đương về dấu

Tập số thực có sự sắp tự hoàn chỉnh, nếu lấy mỗi số thực $r$ ra và đem so sánh với số $0$, thì có đúng ba trạng thái hệt như giới tính con người, đó là

  1. Không có dấu (buê-đê) nếu $r=0$.
  2. Dấu dương (man-lì) nếu $r>0$.
  3. Dấu âm (đàn bà) nếu $r<0$.

Với một đại lượng biến thiên $E$, khi đó có thể là $E$ bất biến dấu, không đổi dấu hoặc đổi dấu lung tung.. Nếu chúng ta lấy ra hai biểu thức chứa biến $x,\,y,\,..$ là $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$, ta sẽ nói $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên miền $D$ nếu cứ với mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì trạng thái dấu của $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ là như nhau. Cụ thể là, tại mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ hoặc cùng bằng $0$ hoặc cùng dương, hoặc cùng âm. Ở phạm vi vài viết này, nếu $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên $D$, tôi sẽ sử dụng ký hiệu\[A\mathop \sim\limits_D A’.\]

Ta có ngay vài tính chất sau

TC1.  $A\mathop \sim\limits_D k.A$ với mọi miền $D$ làm xác định $A$ và $k>0$ trên $D$.

TC2.  $A\mathop \sim\limits_D A’$ thì $A’\mathop \sim\limits_D A$.

TC3.  $A\mathop \sim\limits_D A’$ và $A’\mathop \sim\limits_D A”$ thì $A\mathop \sim\limits_D A”$.

TC4.  $A\mathop \sim\limits_D A’$ và $A\mathop \sim\limits_D A”$ thì $A\mathop \sim\limits_D (A’+A”)$.

TC5.  $A\mathop \sim\limits_D A’$ và $B$ xác định trên $D$, khi đó $AB\mathop \sim\limits_D A’B$.

TC6.  Nếu $f:\,D\to\mathbb R$ là một hàm tăng ngặt, thì $f(x)-f(y) \mathop \sim\limits_D x-y$. Còn nếu, $f:\,D\to\mathbb R$ là một hàm giảm ngặt, thì $f(x)-f(y) \mathop \sim\limits_D y-x$.

Thế, quan tâm đến cái tiểu xảo này làm cái gì, xin thưa là thế này.

Giả sử phải xét dấu một biểu thức tích (hoặc thương) dạng $AB$ trên miền $D$, trong đó $A$ có hình hài củ chuối ta lại sẵn có $A\mathop \sim\limits_D A’$ trong đó $A’$ có hình hài trong sáng, thế thì trên $D$ rõ ràng việc xét dấu của $AB$ sẽ quy về xét dấu $A’B$. Hoặc là giả sử phải luận dấu $A_1+A_2+\ldots +A_n$ mà $A_i\mathop \sim\limits_D A$, khi đó thì ta chỉ việc luận dấu $A$. Đại khái thế, còn biết đâu có vài ý nghĩa khác..

Giờ ta xét vài ví dụ, để minh họa cho ý tưởng.

Ví dụ 1. Tìm các nghiệm thực của phương trình\[\sqrt {8x – 7} + \sqrt {3x – 2} = {x^2} + 1.\]

Lời giải. Rõ ràng, ta chỉ cần tìm nghiệm thực của phương trình đề ra trên miền $D=\left[\frac{7}{8};\,+\infty\right)$, trên đó thì ta có phương trình tương đương với\[\sqrt {8x – 7} – \left( {2x – 1} \right) + \sqrt {3x – 2} – x – {x^2} + 3x – 2 = 0;\;(*).\]Giờ thì do hàm $f(x)=\sqrt x$ tăng ngặt trên miền xác định, nên\[\begin{array}{l}
\sqrt {8x – 7} – \left( {2x – 1} \right)\mathop \sim\limits_D \sqrt {8x – 7} – \sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^2}} \mathop \sim\limits_D \left( {8x – 7} \right) – {\left( {2x – 1} \right)^2}\mathop \sim\limits_D – {x^2} + 3x – 2,\\ \\
\sqrt {3x – 2} – x\mathop \sim\limits_D \sqrt {3x – 2} – \sqrt {{x^2}} \mathop \sim\limits_D \left( {3x – 2} \right) – {x^2}\mathop \sim\limits_D – {x^2} + 3x – 2.
\end{array}\]Tóm lại là vế trái của $(*)$ luôn cùng dấu hoặc cùng bằng $0$ với $-x^2+3x-2$, do đó có được hai nghiệm duy nhất của phương trình là $x_1=1$ và $x_2=2$.

$\square$

Có bạn đọc sẽ thắc mắc là dưng kiếm đéo đâu ra hai cái lượng bậc nhất $2x-1$ và $x$ để thêm vào, xin thưa là vì tính nhẩm thấy phương trình ban đầu có hai nghiệm $x_1=1$ và $x_2=2$ từ đầu. Ta để ý là cát tuyến đi qua hai điểm $A(1;\,1)$ và $B(2;\,3)$ của đồ thị hàm số $y=\sqrt{8x-7}$ chính là đường thẳng có phương trình $y=2x-1$ (tương tự với cái hàm $y=\sqrt{3x-2}$ thì lại xét cái cát tuyến có phương trình $y=x$). Đây là một cú “uốn cong thành thẳng”. Và bạn nào, am hiểu về hàm lồi, thì bài này của thực là rất rất tào lao. Bởi vì, có định lý

Định lý. Cho $\mathbb I$ là một gian trên $\mathbb R$ và hàm lồi $f:\,\mathbb I\to\mathbb R$, khi đó với $a,\,b\in\mathbb I$ thì $$f(x)-f(a)-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-a)\mathop \sim\limits_{\mathbb I} (x-a)(x-b).$$ Ví dụ 2. Cho $f,\,g:\,\mathbb R\to\mathbb R$ là hai hàm tăng ngặt, biết rằng $f(x)+g(x)$ là một hàm liên tục. Chứng minh rằng, cả $f$ và $g$ đều liên tục.

Lời giải.  Lấy $a\in\mathbb R$ và $\epsilon >0$ bất kỳ, do $f+g$ là một hàm liên tục nên tồn tại $\delta>0$ sao cho với mỗi số thực $x$ thỏa $|x-a|<\delta$ thì \[\left| {f\left( x \right) + g\left( x \right) – f\left( a \right) – g\left( a \right)} \right| <\epsilon. \]Bây giờ, ta để ý là $f(x)-f(a)\mathop \sim\limits_{\mathbb R}  x-a$ và $g(x)-g(a)\mathop \sim\limits_{\mathbb R}  x-a$ nên kéo theo $f(x)-f(a)\mathop \sim\limits_{\mathbb R} g(x)-g(a)$ và vì thế với mỗi số thực $x$ thỏa $|x-a|<\delta$ thì \[\begin{array}{l}
\left| {f\left( x \right) – f\left( a \right)} \right| &\le \left| {f\left( x \right) – f\left( a \right)} \right| + \left| {g\left( x \right) – g\left( a \right)} \right|\\
&= \left| {f\left( x \right) + g\left( x \right) – f\left( a \right) – g\left( a \right)} \right|\\
&< \epsilon.
\end{array}\]Khẳng định phía trên cho ta sự liên tục của $f$, và từ hiệu hai hàm liên tục là một hàm liên tục ta có nốt điều cần chứng minh.

$\square$

Ví dụ 3. Tìm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ giảm ngặt và thỏa mãn\[f(x + y) + f\left( {f(x) + f(y)} \right) = f\left( {f(x + f(y)) + f(y + f(x))} \right),\forall x,{\mkern 1mu} y \in\mathbb R. \]

Đêm qua xỉn, có bạn hỏi bài này. Bài thì lại nhìn hình thức xấu như cave U50 nên chán chả nghĩ ra cái gì. Hôm nay đọc lại thấy chữ “giảm ngặt”, bỗng nghĩ đến lượng tương đương về dấu với hàm đơn điệu, thế là có lời giải như sau héhé 😀

Lời giải. Lần lượt thế $y=x$ và $x,\,y$ bởi $f(x),\,f(y)$, ta có được\[\begin{array}{l}
f\left( {2x} \right) + f\left( {2f\left( x \right)} \right) &= f\left( {2f\left( {x + f\left( x \right)} \right)} \right),\\
f\left( {2f\left( x \right)} \right) + f\left( {2f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) &= f\left( {2f\left( {f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)} \right).
\end{array}\]Trừ vế cho vế ta được\[f\left( {2f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) – f\left( {2x} \right) = f\left( {2f\left( {f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)} \right) – f\left( {2f\left( {x + f\left( x \right)} \right)} \right);\;(*).\]Do $f$ giảm, nên với các số thực $a$ và $b$ ta có $f(a)-f(b)\mathop \sim\limits_{\mathbb R} b-a$. Ký hiệu cho vế trái $(*)$ là $L$ còn vế phải $(*)$ là $R$, để có $L \mathop \sim\limits_{\mathbb R}  2\left( {x – f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)$ và\[R \mathop \sim\limits_{\mathbb R}  2\left( {f\left( {x + f\left( x \right)} \right) – f\left( {f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)} \right) \mathop \sim\limits_{\mathbb R}  2\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right) – x} \right).\]Vậy là có đẳng thức sau với mỗi số thực $x$\[f\left( {f\left( x \right)} \right) = x;\;(2*).\] Đặt $f(0)=a$ ta có ngay $f(a)=0$, do tính giảm ngặt nên $a=0$. Bây giờ thay $y=0$ vào ràng buộc ban đầu, kết hợp thêm $(2*)$ ta có\[x + f\left( x \right) = f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( x \right) + x} \right).\]Xét $D=\left\{x+f(x):\;x\in\mathbb R.\right\}$, ta có $f(d)=d$ với mọi $d\in D$, kết hợp tính giảm ngặt ta có $D$ là đơn tập, nghĩa là tồn tại hằng số $d$ sao cho với mọi $x$ ta có $$x+f(x)=d.$$Đến đây, bằng việc rút $f(x)=-x+d$ đem lên thử lai vào ràng buộc đề ra sẽ có được $d=0$, như vậy là có nghiệm hàm \[f(x)=-x,\,\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]

$\square$

 

 

 

 

 

 

Tags: , ,

Reply