Sự xác định lũy thừa với số mũ vô tỷ

Đây là câu hỏi của một bạn giáo viên trên group của các giáo viên . Tôi thấy nó là một câu hỏi giàu ý nghĩa, do đó tôi viết bài này. Trước tiên, xin nhắc lại là vấn đề được bạn giáo viên trong group đó đặt ra như sau.

Bài toán.  Cho $a$ là một số thực dương còn $\alpha$ là một số vô tỷ, giả sử có hai dãy số hữu tỷ cùng hội tụ về $\alpha$ là $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và  $\left(t_n\right)_{n\in\mathbb N}$, xét hai dãy cho bởi sự gán trị\[{u_n} = {a^{{r_n}}},\quad {v_n} = {a^{{t_n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Chứng minh rằng, $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và  $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến một giới hạn.

Chú ý rằng, nếu bài toán vừa đưa ra được giải quyết, thì ta sẽ có được định nghĩa tốt cho $a^{\alpha}$. Theo đó thì, giá trị của $a^{\alpha}$ chính là kết quả giới hạn duy nhất mà các dãy $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và  $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến. Giờ, ta sẽ xử lý bài toán kia.

Lời giải. Với $a=1$, thì bài toán hết sức tầm thường, vì theo khái niệm về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và  $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ đều là các dãy hằng và cùng hội tụ đến $1$.

Ta chỉ cần xét trường hợp $a>1$, bởi vì nếu đạt được điều đó, thì với $0<a<1$ ta xét $a’=\frac{1}{a}$, nhờ các tính chất giới hạn sẽ có điều cần chứng minh.

Trước tiên, ta cần đến bổ đề sau đây.

Bổ đề. Cho một dãy số thực $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, khi đó luôn tồn tại một dãy con $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ của nó là dãy số đơn điệu.

Chứng minh bổ đề. Ta gọi một số nguyên dương $n$ là “ngáo” nếu $s_n\ge s_m$ với mọi số nguyên dương $m$ thỏa mãn $m>n$. Gọi $\cal N$ là tập các số nguyên dương “ngáo”, xét hai trường hợp sau

  1. Nếu $\cal N$ là một tập hữu hạn, lúc đó ắt phải tồn tại $N$ đủ lớn để $n$ không là “ngáo” với mọi số nguyên dương $n\ge N$. Đặt $n_1=N$, khi đó tồn tại số nguyên dương $n_2>n_1$ sao cho $s_{n_2}>s_{n_1}$ do $n_1$ không “ngáo”. Lại có $n_2>N$, nên $n_2$ không “ngáo”, vì thế phải tồn tại số nguyên dương $n_3>n_2$ để $s_{n_3}>s_{n_2}$.. Cứ như vậy, sẽ tồn tại dãy tăng ngặt các số nguyên dương $\left(n_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ để với mọi số nguyên dương $k$ thì $n_k$ không “ngáo” và điều quan trọng nhất là $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N^*}$ là một dãy số tăng ngặt.
  2.  Nếu $\cal N$ là một tập vô hạn, điều đó nghĩa là tồn tại một dãy tăng ngặt các số nguyên dương $\left(n_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ để với mọi số nguyên dương $k$ thì $n_k$ là “ngáo”. Điều này sẽ dẫn đến là dãy con $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N^*}$ phải là một dãy đơn điệu không tăng do bản chất các số “ngáo”.

Ta có được điều cần chứng minh cho bổ đề, từ hai trường hợp đã xét.

$\blacksquare$

Quay là bài toán đặt ra, theo bổ đề ta trích được từ $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ dãy con $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ đơn điệu. Do $a>1$ và tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cũng là dãy đơn điệu cũng chiều với $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$, ở đây với mỗi $k\in\mathbb N$ thì \[{w_k} = {a^{{r_{{n_k}}}}}.\]Do $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ về $\alpha$ nên $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ cũng vậy, sự hội tụ kèm theo tính bị chận cho nên lại theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cũng bị chận. Theo nguyên lý Weierstrass, sẽ tồn tại\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {w_n} = L.\]Chúng ta sẽ hoàn chỉnh chứng minh, nếu như ta chỉ ra rằng\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = L.\]Do tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, các dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng bị chặn, ta gọi $M$ là cận trên chung của chúng, rõ ràng $M>0$ và\[\left| {{w_k} – {v_k}} \right| = \left| {{a^{{r_{{n_k}}}}} – {a^{{t_k}}}} \right| \le M\left( {{a^{\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|}} – 1} \right);\quad (0).\]Bây giờ, lấy ra một số thực dương $\epsilon$ bất kỳ, do $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right| = 0$, cho nên tồn tại số tự nhiên $N_1$ để với mỗi số nguyên dương $k>N_1$ ta có\begin{equation}
\left|r_{n_{k}}-t_{k}\right|<\min \left\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2 M(a-1)}\right\};\quad (1).
\end{equation}Vì $\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|$ là số hữu tỷ thuộc nửa khoảng mở $[0;\,1)$, nên theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có đánh giá sau đây \[{a^{\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|}} \le 1 + \left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|\left( {a – 1} \right);\quad (2).\]Từ $(0),\,(1)$ và $(2)$, với mỗi số nguyên dương $k>N_1$ ta có được\[\left| {{w_k} – {v_k}} \right| \le M(a-1)\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|\le\frac{\epsilon}{2};\quad (3).\]Lại vì $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ là dãy hội tụ đến $L$, nên tồn tại số tự nhiên $N_2$ để với mỗi số nguyên dương $k>N_2$ ta có\[\left| {{w_k} – L} \right| < \frac{\epsilon}{2};\quad (4).\]Từ $(3)$ và $(4)$ ta thấy rằng: với bất kỳ $\epsilon >0$ luôn tồn tại số tự nhiên $N$ (ví dụ như $N=N_1+N_2$), sao cho với mỗi số nguyên dương $k>N$ thì\[\left| {{v_k} – L} \right| \le \left| {{w_k} – {v_k}} \right| + \left| {{w_k} – L} \right|<\epsilon.\]Như vậy $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ đến $L$, do vai trò tương đồng của $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ mà ta có được điều cần chứng minh.

$\square$

Lưu ý rằng, ở chứng minh trên tôi có sử dụng bất đẳng thức Bernoulli với số mũ hữu tỷ, như sau

Bất đẳng thức Bernoulli. Cho $a>0$ khi đó với số hữu tỷ $r$ thỏa mãn $0\le r<1$ thế thì ta sẽ có đánh giá sau đây\[{a^r} \le 1 + r\left( {a – 1} \right).\]Chứng minhViết $r=\frac{m}{n}$ với $m,\,n$ là các số tự nhiên và $m<n$, khi đó theo bất đẳng thức AM-GM ta có\begin{align*}ma + \left( {n – m} \right) &= \underbrace {a + a + \ldots + a}_{m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \text{lần}} + \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{n – m\;\text{lần}}\\& \ge n\sqrt[n]{{{a^m}}} .\end{align*}Chia hai vế của đánh giá đó cho $n$ và rút gọn, ta có được điều cần chứng minh.

$\blacksquare$

Cũng muốn nhấn mạnh là, với mỗi số vô tỷ $\alpha$ thì luôn tồn tại vô số dãy hữu tỷ $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ đến $\alpha$. Ví dụ, lấy số nguyên dương $M$ với $M>1$ bất kỳ, xét dãy số $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cho bởi công thức số hạng tổng quát\[{r_n} = \frac{{\left\lfloor {{M^n}\alpha } \right\rfloor }}{{{M^n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Khi $M=10$, dãy $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ chính là xấp xỉ $\alpha$ theo từng chữ số thập phân.

Tags: , ,

Reply