Có người em hỏi tôi bài toán sau, và bạn ấy cần một lời giải sơ cấp, nội dung bài toán như sau.

Bài toán 1. Cho các số nguyên $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn\[a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 5 + e\sqrt 7 = 0.\]Chứng minh $a=b=c=d=e=0$.

Bạn nào đã học về lý thuyết mở rộng trường, thì cái bài này quá đơn giản. Còn, với yêu cầu sơ cấp hóa, thì chả có gì đơn giản hơn, là ta đi sơ cấp hóa các quá trình làm việc bằng lý thuyết mở rộng trường. Và vì vậy, có lời giải như sau.

Đầu tiên, ta cần có kết quả sau.

Bổ đề. Cho $n$ là một số nguyên dương $q_1,\,q_2,\,\ldots,\,q_n$ là $n$ số nguyên dương tùy ý, xét các tập $F_0=\mathbb Q$ và với mỗi số nguyên dương $j$ không lớn hơn $n$ thì\[{F_j} = \left\{ {k + l\sqrt {q_j} :\;k,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} l \in {F_{j – 1}}} \right\}.\]Lúc đó, cứ với $u,\,v\in F_n$ sẽ có $u\pm v\in F_n$, $uv\in F_n$ và nếu $v\ne 0$ thì $\frac{u}{v}\in F_n$.

Chứng minh. Ta quy nạp là với mỗi số nguyên không âm $m$ không lớn hơn $n$, thì cứ với $u,\,v\in F_m$ sẽ có $u\pm v\in F_m$, $uv\in F_m$ và nếu $v\ne 0$ thì $\frac{u}{v}\in F_m$.

Với $m=0$, thì điều đó đúng do tính chất của $\mathbb Q$. Bây giờ giả sử với số nguyên không âm $m$ khẳng định đã đúng, ta lấy ra $u,\,v\in F_{m+1}$, $v\ne 0$ thì sẽ phải tồn tại các số $x,\,y,\,z,\,t\in F_{m}$ để mà\[u = x + y\sqrt {{q_{m + 1}}} ,\quad v = z + t\sqrt {{q_{m + 1}}} .\]Lúc này có\[\begin{align*}
u \pm v &= \left( {x \pm z} \right) + \left( {y \pm t} \right)\sqrt {{q_{m + 1}}} .\\
uv &= \left( {xz + yt{q_{m + 1}}} \right) + \left( {xt + yz} \right)\sqrt {{q_{m + 1}}} .
\end{align*}\]Do $x,\,y,\,z,\,t\in F_{m}$ nên $x\pm z,\,y\pm t,\,xt+yz\in F_m$ và vì rõ ràng là $$\mathbb Q \subset F_0 \subset F_1\subset \ldots \subset F_m. $$ Cho nên có $q_{m+1}\in F_m$ để có nốt $ xz + yt{q_{m + 1}} \in F_m$ và do đó $u\pm v$ và $uv$ đều thuộc $F_{m+1}$.

Để chứng minh $\frac{u}{v}\in F_{m+1}$, do $uv\in F_{m+1}$ nếu $u,\,v\in F_{m+1}$ nên thực chất ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{v}\in F_{m+1}$. Xét các trường hợp sau đây

• Nếu $t=0$, thì $v=z\in F_m$, nên $\frac{1}{v}=\frac{1}{z}\in F_m\subset F_{m+1}$.
• Nếu $t\ge 0$ và $z^2-t^2p_{m+1}=0$ thì do $z,\,t\in F_m$, $v\ne 0$ và giả thiết quy nạp, nên $\sqrt {{q_{m + 1}}} = \frac{z}{t} \in {F_m}$ cho ta $v=z+t\sqrt{q_{m+1}}\in F_m$ và vì thế $\frac{1}{v}\in F_m$.
• Nếu $z^2-t^2p_{m+1}\ne 0$ thì từ giả thiết quy nạp, ta có $z^2-t^2p_{m+1}\in F_m\setminus\{0\}$, vì thế lại theo giả thiết quy nạp ta có \[\frac{1}{v}=\frac{{z – t\sqrt {{q_{m + 1}}} }}{{{z^2} – {t^2}{q_{m + 1}}}} = \frac{z}{{{z^2} – {t^2}{q_{m + 1}}}} + \frac{{ – t}}{{{z^2} – {t^2}{q_{m + 1}}}}\sqrt {{q_{m + 1}}} \in {F_{m+1}}.\]

Các trường hợp đã xét, cho ta điều cần chứng minh.

Bây giờ, ta quay lại bài toán ban đầu. Nhưng thay cho giải quyết nó, ta xử lý bài toán tổng quát sau.

Bài toán 2. Với $q_1,\,q_2,\,\ldots,\,q_n$ là các số nguyên dương lớn hơn $1$ và không có ước chính phương nào lớn hơn $1$ (gọi là các số square-free), đồng thời đôi một nguyên tố cùng nhau. Xét các tập $F_0=\mathbb Q$ và với mỗi số nguyên dương $j$ không lớn hơn $n$ thì\[{F_j} = \left\{ {k + l\sqrt {q_j} :\;k,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} l \in {F_{j – 1}}} \right\}.\]Chứng minh rằng $\sqrt {{q_{n }}} \notin {F_{n-1}}$.

Lời giải. Ta lại quy nạp theo $n$. Với $n=1$, điều đó đúng vì $\sqrt{q_1}\notin \mathbb Q=F_0$.

Bây giờ giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, nếu ta lấy ra tùy ý $q_1,\,q_2,\,\ldots,\,q_n$ là các số square-free lớn hơn $1$, đồng thời chúng đôi một nguyên tố cùng nhau, thì sẽ phải luôn có $\sqrt {{q_{n }}} \notin {F_{n-1}}$.

Xét $q_0,\,q_1,\,q_2,\,\ldots,\,q_n$ là các số square-free lớn hơn $1$, đôi một nguyên tố cùng nhau, và giả sử $\sqrt {{q_{0 }}} \in {F_{n}}$. Thế thì, sẽ tồn tại $k,\,l\in F_{n-1}$ để viết được \[\sqrt {{q_0}} = k + l\sqrt {{q_n}} .\]Bình phương hai vế ta được $q_0=k^2+l^2q_n+2kl\sqrt{q_n}$, và xét

• Nếu $k=0$, thì do $q_n\in\mathbb Q\subset F_{n-1}$ nên $\sqrt {{q_0}{q_n}} = l{q_n} \in {F_{n – 1}}$. Áp dụng giả thiết quy nạp với bộ $\left(q_1,\,q_2,\ldots ,\,q_0q_n\right)$ ta có ngay mâu thuẫn.
• Nếu $l=0$, thì có luôn $\sqrt{q_0}=k\in F_{n-1}$. Áp dụng giả thiết quy nạp với bộ $\left(q_1,\,q_2,\ldots ,\,q_0\right)$ ta cũng có mâu thuẫn.
• Nếu $kl\ne 0$, thế thì do $2,\,q_0,\,q_n\,k,\,l\in F_{n-1}$ nên theo bổ để sẽ có mâu thuẫn với giả thiết quy nạp là \[\sqrt {{q_n}} = \frac{{{q_0} – {k^2} – {q_n}{l^2}}}{{2kl}} \in {F_{n – 1}}.\]

Các mâu thuẫn nhận được từ các trường hợp đã xét, cho ta thấy $\sqrt{q_{n+1}}\notin F_n$ và ta có được lời giải bài toán theo nguyên lý quy nạp.

Từ bài toán vừa rồi, ta có ngay câu trả lời cho bài toán ban đầu. Vì rõ ràng, ta chỉ cần quan tâm tới tình huống $b,\,c,\,d,\,e$ không đồng thời bằng $0$. Do vai trò của mấy cái căn đó không quan trọng, nên ta giả sử $e\ne 0$, khi đó có ngay mâu thuẫn $\sqrt 7\in F_3$, ở đây $q_1=2,\,q_2=3,\,q_3=5$ và $q_4=7$.

Từ đây, có điều cần chứng minh.

Các bạn học sinh hãy tự khái quát hóa vấn đề, không phải chỉ với mấy cái căn bậc hai, mà nói chung là với các nghiệm phức của các đa thức hệ số nguyên bất khả quy trên $\mathbb Z[x]$ khác nhau.