Sắp dãy các số hữu tỷ

11/08/2016 in Đại Số, Giải Tích, Số Học by Mr 2M | 1 comment

Chúng ta vẫn hay nói: “$\mathbb Q$ là đếm được” , mà một tập đếm được ở đây tức là sắp được thành một dẫy số, cũng có nghĩa là chúng ta sẽ phải xác định được một song ánh $f:\,\mathbb Q\to\mathbb N$. Chứng minh sự tồn tại cái song ánh này rất đơn giản, nếu sử dụng định lý Cantor-Bernstein nhưng sẽ hay hơn nếu ta chỉ ra trực tiếp một quy tắc như thế. Sau đây là một cách làm.

Đầu tiên, xét hàm số $g:\,\mathbb Z\to \mathbb N$ xác định bởi $f(x)=2x$ nếu $x\in\mathbb N$ và $f(x)=-2x+1$ nếu $x\in\mathbb Z\setminus\mathbb N$, khi đó $g$ là một song ánh từ $\mathbb Z$ đến $\mathbb N$.

Xét hàm số $f:\,\mathbb Q\to\mathbb N$ xác định bởi quy tắc cho tương ứng $f(m)=m^2$ với mọi số tự nhiên $m$, $f(-x)=-f(x)$, và nếu $\left\{p_i\right\}_{1\le i\le m}$ và $\left\{q_i\right\}_{1\le i\le n}$ là hai tập con hữu hạn khác rỗng và rời nhau của tập số nguyên tố, thì với các bộ số nguyên dương $\left(k_i\right)_{1\le i\le m}$ và $\left(l_i\right)_{1\le i\le n}$  ta có\[f\left( {\frac{{\prod\limits_{1 \le i \le m} {p_i^{{k_i}}} }}{{\prod\limits_{1 \le j \le n} {q_j^{{l_j}}} }}} \right) = \prod\limits_{1 \le i \le m} {p_i^{2{k_i}}} \prod\limits_{1 \le j \le n} {q_j^{2{l_j} – 1}} .\]Việc kiểm tra $f$ là một song ánh hết sức tầm thường.

Bây giờ xét $h:\,\mathbb Q\to\mathbb N$ bởi hợp $h(x)=g(f(x))$ ta có song ánh cần dựng.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Reply