Phương trình $y^3+4y^2+3y-1=0$

Bài toán. Tìm $y\in\mathbb R$ thỏa$$y^3+4y^2+3y-1=0.$$

Lời giải. Đặt $y=\frac{x-4}{3}$, ta có \[\begin{align*}
{y^3} + 4{y^2} + 3y – 1 &= {\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^3} + 4{\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^2} + 3\left( { \frac{x-4}{3}} \right) – 1\\
&= \frac{1}{{27}}\left( {{x^3} – 21x – 7} \right).
\end{align*}\]Đặt tiếp $x=2\sqrt{7}\cos t$ với $t\in\left[0,\,\pi\right]$, ta sẽ có\[{x^3} – 21x – 7 = 7\left( {2\sqrt 7 \cos 3t – 1} \right).\]Cho nên, ta đưa về giải phương trình lượng giác\[\cos 3t = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}.\]Và đặt $\arccos\left(\frac{\sqrt 7}{14}\right)=\alpha$, ta có các nghiệm $t$ là $t_1=\alpha,\,t_2=\frac{2\pi}{3}-\alpha$ và $t_3=\frac{4\pi}{3}-\alpha$, như vậy, các giá trị của $y$ cần tìm là\[{y_1} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \alpha – 4}}{3},\;{y_2} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – \alpha } \right) – 4}}{3},\;{y_3} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – \alpha } \right) – 4}}{3}.\]Ở đây, $\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt 7}{14}\right)$.

Reply