Phương trình $x^3-54y^3=1$

15/02/2018 in Số Học by Mr 2M | No comments

Bài toán sau, khá cũ trên tạp chí THTT, thời gian đầu nó còn bị giải sai.  Để giải nó, có thể dùng tính UFD của vành Eisenstein $\mathbb Z[\omega]$, nhưng ngoài ra còn có một lời giải rất sơ cấp.

Bài toán. Tìm các số nguyên $x$ và $y$ thỏa mãn$$x^3-54y^3=1.$$

Lời giải. Giả sử các số nguyên $x,\,y$ thỏa mãn $x^3=54y^3+1$, khi đó có\[{\left( {6xy} \right)^3} + 1 = 216{y^3}\left( {54{y^3} + 1} \right) + 1 = {\left( {108{y^3} + 1} \right)^2}.\]Đặt $6xy=a$, khi đó $3\mid a$ và $a^3+1$ là một số chính phương, để ý rằng do $3\mid a$ nên $\gcd\left(a+1,\,a^2-a+1\right)=1$ và\[{a^3} + 1 = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} – a + 1} \right).\]Như vậy, $a^2-a+1$ cũng phải là một số chính phương, ta giả sử là $b^2$ với $b\in\mathbb N$, khi đó\[ – 3 = 4{a^2} – 4a + 1 – 4{b^2} = \left( {2a – 1 – 2b} \right)\left( {2a – 1 + 2b} \right).\]Từ việc $2a-1-2b\le 2a-1+2b$ và $-3$ chỉ có hai phân tích duy nhất là\[-3=-1\times 3=-3\times 1,\]ta có được $a\in\{0,\,1\}$, nhưng vì $3\mid a$ nên $a=6xy=0$, từ đây thấy là chỉ có cặp $(x,\,y)=(1,\,0)$ thỏa yêu cầu.

$\square$

Chú ý. Hãy xem thêm về vành Eisenstein ở link

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tags: , ,

Reply