Có bạn nhờ tôi bài toán như sau

Bài toán. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $a$ sẽ có vô số nghiệm nguyên dương của phương trình\[\frac{{x + y + 1}}{y} + \frac{{y + a}}{x} = 4.\]

Tôi có lời giải như sau

Lời giải. Phương trình trên được biến đổi trở thành\[{\left( {5y – 2a – 3} \right)^2} – 5{\left( {2x – 3y + 1} \right)^2} = 4{a^2} + 12a + 4.\]Giờ ta xét $R=\left\{k+l\sqrt 5:\;k,\,l\in\mathbb Z\right\}$, $I(m)=\{mr:\;r\in R\}$, $m\in\mathbb N^*$. Với mỗi số tự nhiên $n$, thì do tính đóng của $R$ với phép nhân, nên tồn tại các số nguyên $u_n,\,v_n$ để \[{u_n} + {v_n}\sqrt 5 = \left( {3a + 2 + a\sqrt 5 } \right){\alpha ^n}.\] Ở đây, $\alpha=9+4\sqrt 5,\,\beta=9-4\sqrt 5$, lại lấy liên hợp để có\[{u_n} – {v_n}\sqrt 5 = \left( {3a + 2 – a\sqrt 5 } \right){\beta ^n}.\]Sau nhân lại ta sẽ được\[u_n^2 – 5v_n^2 = 4{a^2} + 12a + 4.\]Dễ dàng thấy rằng $u_n,\,v_n\in\mathbb N^*$, đồng thời\[\alpha \equiv \beta \equiv 1\pmod{I(2)}.\]Thêm nữa, do $\alpha^2=18\alpha-1\equiv-2\alpha-1\pmod{I(5)}$, cho nên có $$\alpha^{10}\equiv\beta^{10}\equiv 1\pmod{I(5)}.$$Kết hợp lại, sẽ có $$\alpha^{10}\equiv\beta^{10}\equiv 1\pmod{I(10)}.$$ Vậy để thấy \[{u_{10n}} \equiv {u_0}\pmod{10},\;{v_{10n}} \equiv {v_0} \pmod{10} .\]Xét hệ phương trình $$\begin{cases} 2x-3y+1&=v_n,\\5y-2a-3&=u_n.\end{cases}$$ Hệ đó có định thức $D=10$, và nó có nghiệm nguyên ứng với $n=0$, nên kết hợp với đồng dư phía trên và việc $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N},\, \left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ là các dãy số nguyên dương tăng ngặt, nên ta có điều phải chứng minh.