Phương trình hàm $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime}(p x+q y)$

22/06/2015 in Đại Số, Giải Tích by Mr 2M | No comments

Bài toán. Cho các số $p,\,q>0$ thỏa mãn $p+q=1$, tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime}(p x+q y), \quad \forall x \neq y.$$

Lời giải. Nếu $p\ne q$, thì với mỗi $a,\,b\in\mathbb R$ và $a\ne b$ hệ phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất\[\left\{ \begin{array}{l}
px + qy = a,\\
py + qx = b.
\end{array} \right.\]Nghiệm hệ đó sẽ thỏa $x\ne y$, vì thế $f'(x)$ là hàm hằng cho nên $f(x)$ là hàm bậc nhất.

Nếu $p=q=\frac{1}{2}$, nếu $f$ là một nghiệm của phương trình hàm thì $f(x)+kx+l$ cũng thế (với $k,\,l:\;const$), nên không mất tính tổng quát ta giả sử $f'(0)=f(0)=0$ để thay $y=0$ sẽ có\[f\left( x \right) = xf’\left( {\frac{x}{2}} \right),\quad \forall {\mkern 1mu} x \ne 0.\]Đặt $f’\left( {\frac{x}{2}} \right)=g(x)$, ta sẽ có\[xg\left( x \right) – yg\left( y \right) = \left( {x – y} \right)g\left( {x + y} \right),\quad \forall {\mkern 1mu} x,{\mkern 1mu} y.\]Để ý là từ $f'(0)=0$, ta có $f(-x)=f(x)$ nên $g(-x)=-g(x)$ vì thế có\[xg\left( x \right) – yg\left( y \right) = xg\left( x \right) – \left( { – y} \right)g\left( { – y} \right) = \left( {x + y} \right)g\left( {x – y} \right).\]Từ đây kết hợp lại có\[\left( {x – y} \right)g\left( {x + y} \right) = \left( {x + y} \right)g\left( {x – y} \right)\quad \forall {\mkern 1mu} x,{\mkern 1mu} y.\]Cho nên $g(x)=kx$ để có kết quả $f(x)$ là hàm đa thức bậc hai.

 

Tags: , ,

Reply