Đọc sách gặp một vấn đề khá thú vị, nên tôi trình bày ra đây.Cho $f,\,g:\;\mathbb R\to\mathbb R$ là các hàm có đạo hàm (khả vi) trên khắp $\mathbb R$, khi đó thì chắc chắn $f(x)+g(x)$ cũng là một hàm có đạo hàm trên $\mathbb R$, và ta có công thức\[{f^\prime }\left( x \right) + {g^\prime }\left( x \right) = {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime }.\] Câu hỏi rất lăn tăn và hồn nhiên đặt ra là: Khi mà đã sẵn có $f^\prime(x)$ và $g^\prime(x)$ trên khắp $\mathbb R$, thì liệu có luôn tồn tại hay không một hàm $h(x)$ cũng khả vi trên khắp $\mathbb R$ để sao cho với mỗi số thực $x$ ta đều có đẳng thức $$f^\prime(x)g^\prime(x)=h^\prime(x)?$$

Trong tình huống $f$ và $g$ khả vi liên tục trên $\mathbb R$, câu trả lời ắt là tầm thường. Bởi vì tích hai hàm liên tục sẽ là liên tục, cho nên ở tình huống $f^\prime(x)$ và $g^\prime(x)$ liên tục trên khắp $\mathbb R$ thì $f^\prime(x)g^\prime(x)$ là một hàm liên tục, sự liên tục kéo theo tồn tại nguyên hàm. Và khi đó, ta chỉ cần chọn $h$ là một nguyên hàm của  $f^\prime(x)g^\prime(x)$.

Ở trong trường hợp tổng quát, ta sẽ đưa ra một phản thí dụ như sau đây.

Xét hàm số $\lambda :\mathbb R\to\mathbb R$ cho bởi quy tắc tương ứng
\[\lambda \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
2x\sin \frac{1}{x},\,\,{\rm{nếu}}\,x \ne 0,\\
0,\,\,{\rm{nếu}}\,x = 0.
\end{array} \right.\]Rõ ràng, $\lambda$ là một hàm liên tục trên $\mathbb R$ cho nên là sẽ tồn tại một nguyên hàm $\Lambda$ của nó, cũng để ý là $x\lambda(x)$ là một hàm khả vi khắp $\mathbb R$ nên nếu ta đi ta xét hàm số $f(x)={\Lambda \left( x \right) – x\lambda \left( x \right)}$ thì $f(x)$ cũng khả vi khắp $\mathbb R$, đồng thời thấy
\[{\left( {f\left( x \right)} \right)^\prime } = \left\{ \begin{array}{l}
2\cos \frac{1}{x},\,\,\text{nếu}\;x \ne 0,\\
0,\,\,\text{nếu}\;x = 0.
\end{array} \right.\]Bây giờ, giả sử là tồn tại một hàm số $h(x)$ có đạo hàm trên khắp $\mathbb R$ và thỏa mãn$$h^\prime(x)=\left(f^\prime(x)\right)^2.$$ Khi đó thì hàm số $D(x)=h(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)$ cũng là một hàm khả vi trên khắp $\mathbb R$, và ta thấy\[{D^\prime }\left( x \right) = {h^\prime }\left( x \right) – {f^\prime }\left( {\frac{x}{2}} \right) = {\left( {{f^\prime }\left( x \right)} \right)^2} – {f^\prime }\left( {\frac{x}{2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l}
2,\,\,\text{nếu}\;x \ne 0,\\
0,\,\,\text{nếu}\;x = 0.
\end{array} \right.\]Điều này, rất tiếc là, nó lại trái với tính IVP của các hàm là đạo hàm của các hàm khả vi, đã được khẳng định nhờ định lý của bác Darboux và đã được chứng minh ở bài  “Định lý của Darboux”

Vậy, nếu $f,\,g:\;\mathbb R\to\mathbb R$ là các hàm có đạo hàm trên khắp $\mathbb R$ thì chửa chắc đã có một hàm $h(x)$ có đạo hàm trên khắp $\mathbb R$ để $h^\prime(x)=f^\prime(x)g^\prime(x)$ với mọi số thực $x$ đâu các bạn ạ .