Một số nguyên lý cơ bản

Cá nhân tôi nghĩ rằng, khởi đầu của Số Học có lẽ là từ sự nhận thức của con người về tập hợp số tự nhiên $\mathbb N$, về bản năng thì điều này rất.. tự nhiên do nhu cầu đếm. Tuy nhiên, đưa ra một định nghĩa đàng hoàng về $\mathbb N$ là một điều khó khăn. Ở đây, chúng ta sẽ xây dựng $\mathbb N$ dựa trên hệ tiên đề Peano, như sau đây.

Hệ tiên đề Peano cho tập số tự nhiên.  Chúng ta thừa nhận sự tồn tại của tập hợp các số tự nhiên $\mathbb N$, mà trên đó xác định một quan hệ gọi là “liền sau”, thỏa mãn cả bốn tiên đề dưới đây.

  1. Có một số tự nhiên “đầu tiên” ở đây ta gọi là số $0$, nó không là “liền sau” của bất cứ số tự nhiên nào khác.
  2. Mỗi số tự nhiên không thể là “liền sau” của hai số tự nhiên phân biệt.
  3. Mỗi số tự nhiên đều có một số “liền sau”.
  4. Nếu $S$ là một tập con của $\mathbb N$ có tính chất: $0\in S$ và cứ với $e\in S$ thì số “liền sau” của $e$ là $e’$ cũng thuộc $S$, khi đó $S=\mathbb N$.

Dưới góc nhìn về bản số tập hợp, thì số $0$ là tượng trưng cho số phần tử tập hợp rỗng ($\emptyset$), số “liền sau” của số $0$ ta gọi là: số $1$, số “liền sau” của số $1$ ta gọi là số $2$.. gọi là gì thì là chuyện của ngôn ngữ, nhưng đại khái là thế. Tiên đề số hai và số ba, cho ta sự xác định duy nhất của số “liền sau” của số tự nhiên đã có. Với ngôn ngữ tập hợp, thì hai tiên đề đó cho ta thấy rằng với một tập hợp bất kỳ ta “có quyền” bổ xung thêm một phần tử nào đó, để tạo thành một tập mới.

Cái mà tôi muốn bàn luận đến đầu tiên ở bài viết này, đó là tiên đề cuối cùng, người ta gọi nó tiên đề quy nạp. Nhờ tiên đề củ chuối này và khái niệm “liền sau”, ta xây dựng được hai phép toán cơ bản nhất, đó là phép cộng $(+)$ và phép nhân $(\times)$ cũng như sắp tự được $\mathbb N$. Sau đó, các khái niệm khác của Số Học như chia hết, đồng dư.. ra đời, và rồi sinh đẻ thêm ra các tập số khác như $\mathbb Z,\,\mathbb Q,\mathbb R$..

Ngoài tác dụng hình thành các định lượng Số Học cơ bản, tiên đề quy nạp giúp hình thành nhiều định tính trong Số Học. Khi chúng ta muốn khẳng định một tính chất $\mathfrak P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, ta giả sử $S_{\mathfrak P}$ là tập hợp các số tự nhiên $n$ thỏa mãn tính chất $\mathfrak P(n)$ đó. Giả sử ta kiểm định được $\mathfrak P(n)$ đúng với $n=0$, và sau đó xác quyết được là: nếu như $\mathfrak P(n)$ đúng với số tự nhiên $n$ thì cũng phải đúng với số tự nhiên “liền sau” của $n$ (tức là $n+1$), lúc đó thì theo tiên đề quy nạp ta sẽ có $S_{\mathfrak P}=\mathbb N$. Và từ đó, ta đạt được mục đích. Một ví dụ, là sau đây.

Nguyên lý cực hạn trên $\bf{\mathbb N}$. Cho $S$ là một tập con khác rỗng của $\mathbb N$, khi đó $S$ có phần tử nhỏ nhất. Tức là sẽ tồn tại $m\in S$ sao cho $m\le s$ với mọi $s\in S$.

Chứng minh. Giả sử ngược lại là $S$ không có phần tử nhỏ nhất, khi đó vì $0$ là số nhỏ nhất trong mọi số tự nhiên, cho nên $0\in S’$ với $S’=\mathbb N\setminus S$, tương tự $1\in S’$ bởi vì $1$ là số nhỏ nhất trong các số tự nhiên khác $0$. Giả sử rằng với số tự nhiên $n$ nào đó ta đã có $\{0,\,1,\,\ldots ,\,n\}\subset S’$, khi đó không thể có $n+1\in S$ vì nếu điều đó xảy ra thì $n+1$ sẽ là số bé nhất trong $S$, tóm lại là $n+1\in S’$. Theo tiên đề quy nạp, ta có $S’=\mathbb N$ tức là $S=\emptyset$, và điều đó thì trái với giả thiết.

$\square$

Như những gì đã có, thì rõ ràng có thể coi nguyên lý cực hạn ở trên như một định lý, vì ta chứng minh được nó từ tiên đề quy nạp. Tuy nhiên, ở một góc nhìn khác, ta lại thấy rằng có thể có được tiên đề quy nạp nếu thừa nhận nguyên lý cực hạn, cụ thể như sau đây.

Chứng minh tiên đề quy nạp dựa trên nguyên lý cực hạn. Giả sử $S\subset\mathbb N$ có tính chất: $0\in S$ và cứ hễ $n\in S$ sẽ kéo theo $n+1\in S$, đồng thời $S\ne\mathbb N$. Khi đó ta thấy rằng, $\mathbb N\setminus S=S’\ne\emptyset$, như vậy thì theo nguyên lý cực hạn sẽ có số $s$ là số nhỏ nhất trong $S’$, ta có $0\in S$ nên $0\notin S’$ và do đó $s-1\in\mathbb N$, đồng thời nếu $s-1\in S$ thì dẫn đến mâu thuẫn là $s\in S$ cho nên $s-1\in S’$, nhưng điều đó khiến cho $s-1$ vi phạm vai trò của $s$ nên ta có điều cần chứng minh.

$\square$

Như vậy, ta có thể gọi tiên đề quy nạp là nguyên lý quy nạp, và có hai nguyên lý trên là tương đương. Ngoài ra, với nguyên lý cực hạn và chuyện $\mathbb N$ là một tập vô hạn, nên nếu lấy ra một tập con hữu hạn và khác rỗng của $\mathbb N$ là $S$, lúc đó xét $$S’=\left\{m\in\mathbb N:\quad m>s,\;\forall\,s\in S\right\}.$$Rõ ràng $S’$ là tập con khác rỗng của $\mathbb N$ (để ý là $1 + \sum\limits_{s \in S} s \in S’$), cho nên nó sẽ có phần tử nhỏ nhất là $m^*$ nào đó, lúc đó thì ta thấy $m^*-1$ chính là số lớn nhất trong $S$.  Những lý lẽ vừa nêu đó, có thể coi là chứng minh của mệnh đề sau.

Mệnh đề. Một tập con hữu hạn và khác rỗng của $\mathbb N$ thì luôn có phần tử lớn nhất.

Nếu như nguyên lý quy nạp cực kỳ lợi hại trong việc khẳng định các tính chất mà ta dự phóng, thì nguyên lý cực hạn lại rất hữu ích khi khẳng định sự tồn tại một đối tượng nào đó, xin được lấy một ví dụ rất cơ bản như sau.

Thuật toán chia trên $\bf\mathbb Z$. Cho $m$ là một số nguyên dương, khi đó với mỗi số nguyên $a$ sẽ tồn tại duy nhất số nguyên $q$ và số tự nhiên $r$ thỏa mãn $r<m$, và\[a=qm+r.\]Chứng minh. Xét tập hợp $S_m(a)=\left\{ a-km:\;k\in\mathbb Z\right\}$, và để ý đánh giá sau\[a – \left( { – \left| a \right|} \right)m = a + \left| a \right|m \ge a + \left| a \right| \ge 0.\]Do $a – \left( { – \left| a \right|} \right)m\in S_m(a)$ nên $S_m(a)\cap\mathbb N\ne\emptyset$, từ đó $S_m(a)\cap\mathbb N$ có phần tử nhỏ nhất là $r$ nào đó, như vậy là tồn tại $q\in\mathbb Z$ để cho\[r=a-qm.\]Bây giờ ta thấy là $r<m$, bởi vì nếu điều ngược lại xảy ra thì $r-m\in\mathbb N$ và đồng thời $r – m = a – \left( {q + 1} \right)m\in S_m(a)$, trong khi đó $r-m<r$ tức là $r-m$ đã phạm vào vai trò của $r$. Từ đây, ta có điều cần chứng minh.

$\blacksquare$

Đặt $\mathcal R_m=\left\{0,\,1,\,\ldots ,\,m-1\right\}$, thì ta thấy rằng thuật toán chia vừa nêu, cho ta thành hình một song ánh $f_m:\,\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathcal R_m$ cho ứng mỗi số nguyên $a$ với một cặp $f_m(a)=\left(q_m(a),\,r_m(a)\right)\in \mathbb Z\times\mathcal R_m$ thỏa mãn đẳng thức sau đây\[a=mq_m(a)+r_m(a).\]Với một số nguyên dương $m$ cho trước, giá trị $q_m(a)$ ở tương ứng trên được gọi là thương của phép chia $a$ cho $m$, còn $r_m(a)$ được gọi là số dư trong phép chia $a$ cho $m$. Như vậy, thì kết quả của phép chia số nguyên $a$ cho $m$ được hoàn toàn xác định nhờ cặp thương-số dư. Và từ đó, bắt đầu nảy nòi ra khái niệm rất quan trọng trong Số Học, đó là khái niệm đồng dư.

Định nghĩa về đồng dư. Cho trước số nguyên dương $m$, hai số nguyên $a$ và $a’$ được gọi là đồng dư với nhau trong phép chia cho $m$ khi và chỉ khi chúng có cùng số dư trong phép chia cho $m$, tức là $r_m(a)=r_m(a’)$, lúc đó ta sẽ viết\[a\equiv a’\pmod m.\]

Việc luận bàn kỹ hơn về các quy tắc, tính chất hay các vấn đề của quan hệ đồng dư giữa các số nguyên sẽ thuộc một bài viết khác. Để ý đến phần tử đặc biệt của tập $\mathbb N$ là $0$, ta tiếp tục có luôn một khái niệm sau từ thuật toán chia, như sau.

Định nghĩa về chia hết và ước số. Cho trước số nguyên dương $m$, số nguyên $a$ được gọi là chia hết cho (hoặc gọi là bội số của) $m$ nếu và chỉ nếu nó có số dư trong phép chia cho $m$ (là $r_m(a)$) bằng $0$. Lúc đó ta cũng nói $m$ là một ước số của $a$ (hoặc $m$ chia hết $a$), và viết $a\,\vdots\, m$, cũng như có thể viết là $m\mid a$.

Về bản chất $m\mid a$, tức là $a=ka$ với $k=q_m(a)\in\mathbb Z$, từ đây kết hợp với song ánh $f_m$ đã nói đến ở trên, thấy là $m\mid a$ khi và chỉ khi $a\in I_m$, trong đó $$I_m=\left\{km:\;k\in\mathbb Z\right\}.$$Tập $I_m$ vừa nói đến, là tập chứa tất cả các bội số của $m$, còn gọi là ideal trên $\mathbb Z$ (hoặc modulus) sinh bởi $m$. Chúng ta để ý rằng, điều kiện để xảy ra quan hệ đồng dư $a\equiv a’ \pmod m$ bây giờ thì sẽ trở thành $a-a’\in I_m$. Qua đó, ta có được sự mở rộng rất tự nhiên khái niệm đồng dư, chia hết (bội-ước) với số nguyên dương sang số nguyên khác $0$.

 

 

 

 

 

 

 

 

Tags: , ,

Reply