Bài toán 6 VNTST 2018. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ và $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(J)$ trên $BC,CA,AB.$

a) Gọi $L$ là trung điểm $BC$. Đường tròn đường kính $LJ$ cắt $DE,DF$ tại $K,H.$ Chứng minh rằng $(BDK)$ và $(CDH)$ cắt nhau trên $(J).$

b) Giả sử $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $GJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N.$ Gọi $P,Q$ là các điểm trên $JB,JC$ sao cho $\angle PAB=\angle QAC=90^\circ .$ Gọi $T$ là giao điểm của $PM,QN$ và $S$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ của $(O).$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng $SI$ cắt $AT$ tại một điểm thuộc $(O).$

Một số phát triển.

Bài toán 1. Cho tam giác $ABC$ và $P$ bất kỳ. $DEF$ là tam giác pedal của $P.$ Đường tròn $(K)$ đi qua $P,$ $D$ cắt lại các đường thẳng $DE,$ $DF$ lần lượt tại $M,$ $N.$ Chứng minh rằng các đường tròn $(DBM),$ $(DCN)$ và $(DEF)$ có một điểm chung khác $D.$

Bài toán 2. Cho tam giác $ABC$ có các điểm $D,$ $E,$ $F$ bất kỳ nằm trên cạnh $BC,$ $CA,$ $AB.$ Các đường tròn $(AEF),$ $(CFD),$ $(CDE)$ có một điểm chung là $M.$ Một đường tròn $(K)$ đi qua $P,$ $D$ cắt lại các đường thẳng $DE,$ $DF$ tại $Q,$ $R.$ Chứng minh rằng các đường tròn $(DBQ),$ $(DCR)$ và $(DEF)$ có một điểm chung khác $D.$

Bài toán 3. Cho tam giác $ABC$ và $P$ bất kỳ. $DEF$ là tam giác pedal của $P.$ $EF$ cắt $BC$ tại $G.$ $GP$ cắt $CA,$ $AB$ tại $Q,$ $R.$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB,$ $AC$ cắt $PB,$ $PC$ tại $M,$ $N.$ $NQ$ cắt $MR$ tại $L.$ Đường tròn $(DEF)$ cắt lại $BC$ tại $K.$ Chứng minh rằng $\angle KAB=\angle LAC.$