Một chú ý nhỏ về căn

Bài viết ngắn này, nói về phép chứng minh một tính chất rất đơn giản trong Số Học sơ cấp.

Định lý. Cho $a$ và $n$ là các số nguyên dương, khi đó nếu $\sqrt[n]{a}$ là một số hữu tỷ, thì sẽ tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho\[a=M^n.\]

Chứng minh. Giả sử $\sqrt[n]{a}=\frac{M}{T}$, trong đó $M,\,T$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, ta có được\[M=a^nT.\]Bây giờ, với mỗi số nguyên dương $m$, ta ký hiệu $\mathcal P_m$ là tập hợp các ước số nguyên tố của $m$. Ta để ý rằng nếu $p$ là một số nguyên tố và $m,\,m’$ là các số nguyên dương, thế thì nếu $p\mid mm’$ sẽ phải xảy ra hoặc là $p\mid m$ hoặc là $p\mid m’$, và từ đó\[\mathcal P_{mm’}=\mathcal P_m\cup\mathcal P_{m’}.\]Vì thế, chúng ta có được bao hàm thức\[{{\cal P}_T} \subset {{\cal P}_a} \cup {{\cal P}_T} = {{\cal P}_{{a^n}}} \cup {{\cal P}_T} = {{\cal P}_{{a^n}T}} = {{\cal P}_M}.\]Từ đây có $\mathcal P_T=\mathcal P_T\cap\mathcal P_M=\emptyset$ (để ý là $\mathcal P_T\cap\mathcal P_M=\emptyset$ do $\gcd (M,\,T)=1$), và điều đó chỉ xảy đến khi $T=1$.

 

 

 

 

 

 

Reply