Một chú ý nhỏ về căn

Bài viết ngắn này, nói về phép chứng minh một tính chất rất đơn giản trong Số Học sơ cấp.

Định lý. Cho $a$ và $n$ là các số nguyên dương, khi đó nếu $\sqrt[n]{a}$ là một số hữu tỷ, thì sẽ tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho\[a=M^n.\]

Chứng minh. Giả sử $\sqrt[n]{a}=\frac{M}{T}$, trong đó $M,\,T$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, ta có được\[M^n=aT^n.\]Bây giờ, với mỗi số nguyên dương $m$, nếu ta đi ký hiệu $\mathcal P_m$ là tập hợp các ước số nguyên tố của $m$. Ta để ý rằng, với các số nguyên dương $m,\,m’$ thì $$\mathcal P_{mm’}=\mathcal P_m\cup\mathcal P_{m’}.$$ Cho nên nếu $d\mid m$, thì sẽ có $\mathcal P_d\subset\mathcal P_m$, và đồng thời ta có được $\cal P_{m^n}=\cal P_m$ với mỗi số nguyên dương $m$. Và, chúng ta có được bao hàm thức\[\mathcal P_{T}={{\mathcal P}_{T^n}} \subset  {{\mathcal P}_{M^n}}=\mathcal P_{M}.\]Từ đây có $\mathcal P_T=\mathcal P_T\cap\mathcal P_M=\emptyset$ do $M$ và $T$ nguyên tố cùng nhau, từ đó $T=1$.

$\square$

Lại phải nói thêm rằng, cái tính chất đã nêu, cũng có thể chứng minh nếu ta viết ra các phân tích ra thừa số nguyên tố, dựa trên định lý cơ bản của Số Học.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Reply