Trong cuốn “Fields and Galois Theory” của J. S. Milne, có bài toán 3.1 rất thú vị như sau:
Bài toán 1: Cho $F$ là trường có đặc số bằng $0$. Chứng minh rằng $F(x^2)\cap F(x^2-x)=F$
(Ở đây F(X) là trường phân thức hữu tỉ trên $F$)

Khoan bàn về chứng minh của bài toán, bằng cách “lắp số, lắp điều kiện”: Chọn $F=\mathbb{Q}$ ta được một bài toán sơ cấp sau:
Bài toán 2: Tìm các cặp đa thức $f(x),g(x)\in \mathbb{Q}[x]$ sao cho:
\[f(x^2)=g(x^2-x)\]

Nhìn chung bài toán này không hề đơn giản nếu đi theo hướng sơ cấp. Tác giả rất mong muốn tìm được một lời giải sơ cấp cho bài toán nhưng giờ vẫn chưa tìm ra, kể cả việc đưa chứng minh cao cấp sau về một chứng minh sơ cấp. Sau đây là chứng minh của bài toán 1.
Chứng minh bài toán 1:
Lưu ý rằng các đa thức trong phần chứng minh đều bất khả quy trên trường tương ứng Ý tưởng ở đây là xét $F(x^2)$ và $F(x^2-x)$ trong $F(x)$. Ta thấy ngay $F(x)$ là trường phân rã của $g(T)=T^2-x^2$ trên $F(x^2)(T)$ và cũng là trường phân rã của $h(T)=T^2-T-x^2+x$ trên $F(x^2-x)(T)$. Do đó $F(x)/F(x^2)$ và $F(x)/F(x^2-x)$ là các mở rộng Galois.
Xét hai đẳng cấu $\sigma,\tau$ trên $F(x)$:
\[\sigma:F(x)\rightarrow F(x),f(x)\mapsto f(-x)\] \[\tau:F(x)\rightarrow F(x), f(x)\mapsto f(1-x)\] Ta có $\sigma(f(x^2))=f((-x)^2)=f(x^2)$ và $\tau(f(x^2-x))=f((1-x)^2-(1-x))=f(x^2-x)$ với mọi $f\in F(x)$, do đó $\sigma \in Gal(F(x)/F(x^2))$ và $\tau\in Gal(F(x)/F(x^2-x))$. Đặc biệt $\sigma$ và $\tau$ đều có cấp $2$ (do $\sigma^2=id_{F(x)},\tau^2=id_{F(x)}$).
Xét $E=F(x^2)\cap F(x^2-x)$, ta có ngay $F\subset E$. Giả sử dấu bằng không xảy ra, lấy $p(x)\in E$ bất kì mà $p(x)$ khác hằng.
Khi đó $F(x)$ là trường phân rã của $k(T)=p(T)-p(x)$ trên $F(p(x))(T)$, do đó $F(x)$ là mở rộng Galois của $F(p(x))$. Mà $\sigma \in Gal(F(x)/F(x^2)$ và $\tau\in Gal(F(x)/F(x^2-x))$ nên $\sigma\tau\in Gal(F(x)/F(p(x)))$.
Mặt khác ta có:
\[\sigma\tau:F(x)\rightarrow F(x),f(x)\mapsto f(x+1)\] có cấp vô cùng, do $(\sigma\tau)^n(x)=x+n$, mâu thuẫn.

Phương pháp trên có thể mở rộng ra thành rất nhiều bài toán thú vị khác (như thay $\mathbb{Q}$ thành trường khác có đặc số khác 0, hay thay $x^2$ và $x^2-x$ thành các đa thức bất biến qua các phép biến đổi tuyến tính khác). Một bài toán cũng rất thú vị được đặt ra là liệu ta có thể bỏ điều kiện đặc số khác 0 hay không? Khi đó cần thêm những điều kiện gì?

Tài liệu tham khảo:
[1] Fields and Galois theory, J. S. Milne