Có bài toán độ ra bài trắc nghiệm liên quan đến bài phương trình hàm sau đây.

Bài toán. Tìm hàm số lẻ $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(x+1)=1+f(x)$ với mọi số thực $x$ và với mỗi số thực $x$ khác $0$ ta lại có\[f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\]

Lời giải. Do là hàm số lẻ, ta có ngay $f(0)=0$ và từ đó cũng có được luôn $$f(-1)=-f(1)=-f(1+0)=-\left(1+f(0)\right)=-1.$$Bây giờ với $x\notin\{0,\,-1\}$ ta có\[f\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) = f\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) = 1 + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 1 + \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\]Đồng thời với $x\notin\{0,\,-1\}$ cũng lại có\begin{align*}
f\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) &= \frac{{f\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}}{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}}}\\
&= {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^2}f\left( {1 – \frac{1}{{x + 1}}} \right)\\
&= {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 + f\left( { – \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right)\\
&= {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 – f\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right)\\
&= {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 – \frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\\
&= {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 – \frac{{1 + f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\\
&= 1 + \frac{{2x – f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.
\end{align*}Vậy là với mỗi số thực $x$ khác $0$ và $-1$ ta sẽ có\[1 + \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{{2x – f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\]Vì thế $f(x)=x$ với mỗi số thực $x$ khác $0$ và $-1$, kết hợp các suy diễn từ đầu ta có nốt $f(x)=x$ với mọi số thực $x$.