Một bài cơ bản về tổng tập theo mod p

17/12/2019 in Số Học by Mr 2M | No comments

Có bạn hỏi tôi bài toán như sau.

Bài toán. Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x,\,y$ để\[x^2+y^2+1\equiv 0\pmod p.\]

Bài này nếu áp dụng định lý Cauchy-Davenport thì là.. hiển nhiên. Nhưng sau đây là một cách giải sơ cấp.

Lời giải. Xét $\mathcal R_p=\left\{0,\,1,\,\ldots ,\,p-1\right\}$, bởi vì có đúng $\frac{p-1}{2}+1$ số nguyên $m$ trong $\mathcal R_p$ để cho phương trình $x^2\equiv m\pmod p$ có nghiệm, vì thế nếu ta ký hiệu $r_p(a)$ là số dư của số nguyên $a$ khi chia cho $p$ và xét các tập hợp\[A = \left\{ {{r_p}\left( {{x^2}} \right):\;x \in \mathbb Z} \right\},\quad B = \left\{ {{r_p}\left( { – {y^2} – 1} \right):\;y \in \mathbb Z} \right\},\]khi đó thì $|A|=|B|=\frac{p+1}{2}$. Vì $|A|+|B|>p$, cho nên sẽ tồn tại $a\in A$ và $b\in B$ sao cho $a=b$, từ đây ta có điều phải chứng minh.

Tags: , ,

Reply