Bài viết này trình bày một số kết quả về mở rộng và hạn chế ideal, cụ thể trong trường hợp vành thương, trên vành các thương và trên mở rộng nguyên

Cho $A$ là một vành. Nếu $\mathfrak{a}$ là ideal của $A$ thì ta kí hiệu $\mathfrak{a}\lhd A$. Ngoài ra ta gọi $I(A)$ là họ các ideal trong $A$, $Spec(A)$ là họ các ideal nguyên tố trong $A$, $M(A)$ là họ các ideal cực đại trong $A$.
Với miền nguyên $A$ và tập con nhân tính $S$ của $A$ ($0\notin S$), kí hiệu $S^{-1}A=\{a/s|a\in A,s\in S\}$ là vành các thương trên $A$ đối với $S$. Đặc biệt trong trường hợp $S=A-\{0\}$, ta kí hiệu trường các thương của $A$ bởi $F(A)=(A-\{0\})^{-1}A$.
Còn trường hợp $S=S_{\mathfrak{p}}=A-\mathfrak{p}$ với $\mathfrak{p}$ là một ideal nguyên tố trong $A$ thì ta kí hiệu $A_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}^{-1}A$.
Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal, bạn đọc có thể xem trong chương I của [1].

I. Lý thuyết cơ bản về mở rộng và hạn chế ideal
Ở mục này ta sẽ xét $A,B$ là các vành và $f:A\rightarrow B$ là một đồng cấu vành. Khi đó ta có thể coi $B$ là một “mở rộng” của $A$ (theo định nghĩa của Bourbaki).
Xét $\mathfrak{a}$ là một ideal của $A$, ta gọi mở rộng của
$\mathfrak{a}$ trên $B$ là ideal $Bf(\mathfrak{a})$, kí hiệu bởi $\mathfrak{a}^e$ (ở đây cần nhấn mạnh $f(\mathfrak{a})$ chưa chắc là ideal trong $B$ nên ta cần lấy ideal sinh bởi nó).
Xét $\mathfrak{b}$ là một ideal của $B$, khi đó ta chỉ ra được $f^{-1}(\mathfrak{b})$ là một ideal trên $A$, gọi là hạn chế của
$\mathfrak{b}$ trên $A$ là ideal $Bf(\mathfrak{a})$, kí hiệu bởi $\mathfrak{b}^c$.
Tính chất 1: Cho $\mathfrak{a}\lhd A$ và $\mathfrak{b}\lhd B$. Khi đó:
• $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a}^{ec}, \mathfrak{b} \supset \mathfrak{b}^{ec}$
• $\mathfrak{a}^{ece}=\mathfrak{a}^{e}$ và $\mathfrak{b}^{c}=\mathfrak{b}^{cec}$

Tính chất trên có thể chứng minh dễ dàng nên tác giả nhường lại bạn đọc. Đặc biệt ở mệnh đề sau của tính chất 1 cho thấy rằng trên tập $\{\mathfrak{a}^{e}|\mathfrak{a}\lhd A\}$ thì phép lấy $^{ce}$ (tức là hạn chế rồi mở rộng) là một ánh xạ bất biến, tương tự với phép lấy $^{ec}$ trên tập $\{\mathfrak{b}^{c}|\mathfrak{b}\lhd B\}$. Từ đó ta có:

Mệnh đề 2: $C=\{\mathfrak{a}\lhd A| \exists \mathfrak{b}\lhd B: \mathfrak{b}^c= \mathfrak{a}\}$ được gọi là họ các ideal hạn chế trên $A$, $E=\{\mathfrak{b}\lhd B| \exists \mathfrak{a}\lhd A:\mathfrak{a}^e= \mathfrak{b}\}$ được gọi là họ các ideal mở rộng trên $B$. Khi đó $C=\{\mathfrak{a}\lhd A:\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}\}$ và $E=\{\mathfrak{b}\lhd B:\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b}\}$
Hơn nữa ta có song ánh \[(\_)^e:C\rightarrow E, \mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{a}^e\] với ánh xạ ngược $(\_)^c:E\rightarrow C$, $\mathfrak{b}\mapsto \mathfrak{b}^c$
Chứng minh. Ý thứ nhất nếu $\mathfrak{a}$ nằm trong $C$ thì tồn tại $\mathfrak{b}\lhd B:\mathfrak{a}=\mathfrak{b}^c$. Do đó $\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{b}^{cec}=\mathfrak{b}^{c}=\mathfrak{a}$, ngược lại nếu $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^{ec}=(\mathfrak{a}^e)^c$ dẫn tới $\mathfrak{a}\in C$.
Ý thứ hai, theo nhận xét trước đó của ta thì $(\_)^e \circ (\_)^c = Id_E$ và $(\_)^c \circ (\_)^e = Id_C$ nên ta có $(\_)^e$ và $(\_)^c$ là song ánh.

Mệnh đề trên rất quan trọng, nó cho phép liên hệ các ideal trên $A$ với ideal trên $B$ một cách tương ứng. Trong từng trường hợp cụ thể, tương ứng trên sẽ cho ta các tính chất khác nhau. Tiếp theo là một loạt tính chất của mở rộng và hạn chế, xem như bài tập cho bạn đọc:

Mệnh đề 3: Cho $\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2 \lhd A$, $\mathfrak{b}_1,\mathfrak{b}_2 \lhd B$ . Khi đó:
• $(\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2)^e=\mathfrak{a}_1^e+\mathfrak{a}_2 ^e$; $(\mathfrak{b}_1+\mathfrak{b}_2)^c\supset \mathfrak{b}_1^c+\mathfrak{b}_2 ^c $
• $ (\mathfrak{a}_1\cap \mathfrak{a}_2)^e\subset \mathfrak{a}_1^e\cap\mathfrak{a}_2 ^e$; $ (\mathfrak{b}_1\cap \mathfrak{b}_2)^c=\mathfrak{b}_1^c\cap\mathfrak{b}_2 ^c$;
• $(\mathfrak{a}_1\mathfrak{a}_2)^e=\mathfrak{a}_1^e\mathfrak{a}_2 ^e$; $(\mathfrak{b}_1\mathfrak{b}_2)^c=\mathfrak{b}_1^c\mathfrak{b}_2 ^c $
• $(\mathfrak{a}_1:\mathfrak{a}_2)^e=(\mathfrak{a}_1^e:\mathfrak{a}_2^e)$; $(\mathfrak{b}_1:\mathfrak{b}_2)^c=(\mathfrak{b}_1^c\mathfrak{b}_2 ^c)$
Trong đó $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{x\in A:x\mathfrak{b}\subset \mathfrak{a}\}$

Kết thúc mục này là tính chất bảo toàn tính nguyên tố của phép lấy hạn chế:
Mệnh đề 4: Cho $\mathfrak{P}$ là ideal nguyên tố trong $B$, khi đó $\mathfrak{P}^c$ là ideal nguyên tố trong $A$
Chứng minh. Xét $ab\in \mathfrak{P}^c=f^{-1}(\mathfrak{P})$, khi đó $f(a)f(b)\in \mathfrak{P}$ nên $f(a)\in \mathfrak{P}$ hoặc $f(b)\in \mathfrak{P}$, dẫn tới $a\in\mathfrak{P}^c$ hoặc $b\in\mathfrak{P}^c$.

Cần lưu ý rằng mở rộng của một ideal nguyên tố chưa chắc đã là ideal nguyên tố.

Nói chung mỗi mục II,III,IV của ta sẽ đi theo hướng: xác định tập C và E tương ứng với mở rộng ta đang xét, khảo sát tính cực đại, tính nguyên tố của các ideal khi mở rộng và một số tính chất liên quan khác.

II. Mở rộng và hạn chế ideal trên vành thương
Giờ ta xét $A$ là một vành, $\mathfrak{a}$ là một ideal thực sự trong $A$ và ta xét $B=A/\mathfrak{a}$ với đồng cấu $f$ là phép chiếu chính tắc \[f:A\rightarrow A/\mathfrak{a},x\mapsto x+\mathfrak{a}\] Giờ ta cần xác định mở rộng và hạn chế của các ideal trong trường hợp này.
Xét $\mathfrak{c}$ là một ideal trong $A$. Khi đó \[\mathfrak{c}^e=A/\mathfrak{a}.(\mathfrak{c}+\mathfrak{a})/\mathfrak{a}=(\mathfrak{c}+\mathfrak{a})/\mathfrak{a}=f(\mathfrak{c})\]Đây là trường hợp đẹp khi ảnh của mọi ideal cũng là một ideal, kết hợp với tính toàn ánh của $f$ ta sẽ có $\mathfrak{d}\lhd A/\mathfrak{a}$ thì $\mathfrak{d}^{ce}=f(f^{-1}(\mathfrak{d}))=\mathfrak{d}$. Do đó $E=I(A/\mathfrak{a})$.
Ngược lại xác định chính xác nghịch ảnh của một ideal trong $A/\mathfrak{a}$ lại không phải chuyện dễ, nhưng ta có thể nhận thấy ngay mọi nghịch ảnh như vậy đều chứa $\mathfrak{a}$. May thay đây cũng là điều kiện vừa đủ để một ideal trong $A$ là một ideal hạn chế.

Mệnh đề 5: Cho $\mathfrak{a}$ là một ideal của vành $A$ và xét $f:A\rightarrow A/\mathfrak{a}$ là phép chiếu chính tắc. Khi đó ánh xạ $\mathfrak{d}\mapsto \mathfrak{d}^c=f^{-1}(\mathfrak{d})$ là song ánh giữa $I(A/\mathfrak{a})$ và họ các ideal của $A$ chứa $\mathfrak{a}$.
Đặc biệt ta có: $\dfrac{A/\mathfrak{a}}{\mathfrak{d}}\cong A/\mathfrak{d}^c=A/f^{-1}(\mathfrak{d})$
Chứng minh. Để chứng minh ý thứ nhất, ta chỉ cần chỉ ra $C=\{\mathfrak{c}\lhd A: \mathfrak{c}\supset \mathfrak{a}\}$ rồi áp dụng mệnh đề 2.
Xét $\mathfrak{c}$ là ideal trong $A$ chứa $\mathfrak{a}$, ta có $\mathfrak{c}^{ec}=f^{-1}f(\mathfrak{c})=f^{-1}(\mathfrak{c}/\mathfrak{a})\supset \mathfrak{c}$. Dấu bằng xảy ra vì nếu không sẽ tồn tại $x\in A-\mathfrak{c}:f(x)=x+\mathfrak{a}\in \mathfrak{c}/\mathfrak{a} $ dẫn tới tồn tại $y\in \mathfrak{a}:x-y\in\mathfrak{c}$. Nhưng $y\in \mathfrak{a}\subset\mathfrak{c}$ nên $x\in \mathfrak{c}$ (vô lí).
Phần thứ 2 của mệnh đề, ta xét biểu đồ giao hoán sau:

Trong đó $f$ và $\pi$ và $\pi_{\mathfrak{d}}$ đều là phép chiếu chính tắc vào không gian thương tương ứng. Khi đó $\pi_{\mathfrak{d}} \circ f:A\rightarrow \dfrac{A/\mathfrak{a}}{\mathfrak{d}}$ là toàn cấu và $Ker(\pi_{\mathfrak{d}} \circ f)=\{x\in A:f(x)\in Ker(\pi_{\mathfrak{d}})=\mathfrak{d}\}=f^{-1}(\mathfrak{d})$
Do đó ta có $\dfrac{A/\mathfrak{a}}{\mathfrak{d}} \cong A/Ker(\pi_{\mathfrak{d}} \circ f) =A/f^{-1}(\mathfrak{d})$

Tuy ở trên chỉ đưa ra một tương ứng của các ideal chứa $\mathfrak{a}$, ta cũng có thể từ đó chỉ ra một vài tính chất của các ideal $\mathfrak{c}$ không chứa $\mathfrak{a}$ như: $\mathfrak{c}^e=(\mathfrak{c}+\mathfrak{a})^e$ và $\mathfrak{c}^{ec}=\mathfrak{c}+\mathfrak{a}$
Từ tính chất trên, ta có ngay quan hệ về ideal cực đại giữa 2 tập:
Hệ quả 6: Hạn chế của ideal cực đại trong $A/\mathfrak{a}$ là ideal cực đại trong $A$, ngược lại mở rộng của ideal cực đại chứa $\mathfrak{a}$ trong $A$ là ideal cực đại trong $A/\mathfrak{a}$.
Tuy nhiên mở rộng của ideal cực đại không chứa $\mathfrak{a}$ trong $A$ là $A/\mathfrak{a}$.
Chứng minh. Chiều ngược lại có được nhờ tính chất: $\mathfrak{m}$ là ideal của $A$ thì $\mathfrak{m}^e=(\mathfrak{m}+\mathfrak{a})^e$. Do đó nếu $\mathfrak{m}$ cực đại không chứa $\mathfrak{a}$ thì ta có ngay $\mathfrak{m}+\mathfrak{a}=A$ nên $\mathfrak{m}^e=(\mathfrak{m}+\mathfrak{a})^e=A/\mathfrak{a}$.

Hệ quả 7: Hạn chế của ideal nguyên tố trong $A/\mathfrak{a}$ là ideal nguyên tố trong $A$ chứa $\mathfrak{a}$.
Mở rộng của ideal nguyên tố chứa $\mathfrak{a}$ trong $A$ là ideal nguyên tố trong $A/\mathfrak{a}$.
Chứng minh. Ý thứ nhất là hệ quả của mệnh đề 4. Ý thứ hai có được vì nếu $\mathfrak{c}$ là ideal nguyên tố chứa $\mathfrak{a}$ trong $A$ thì $\mathfrak{c}^e$ là ideal trong $A/\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{c}=\mathfrak{c}^{ce}=f^{-1}(\mathfrak{c}^e)$. Từ mệnh đề 5 ta có đẳng cấu:\[\dfrac{A/\mathfrak{a}}{\mathfrak{c}^e}\cong A/f^{-1}(\mathfrak{c}^e)=A/\mathfrak{c}\] Do $\mathfrak{c}$ nguyên tố trong $A$ nên $A/\mathfrak{c}$ là miền nguyên, do đó $\dfrac{A/\mathfrak{a}}{\mathfrak{c}^e}$ là miền nguyên hay $\mathfrak{c}^e$ nguyên tố trong $A/\mathfrak{a}$.
Lưu ý ở đây yêu cầu $\mathfrak{c}$ chứa $\mathfrak{a}$ là cần thiết để $\mathfrak{c}=\mathfrak{c}^{ec}$.

Đó là về mở rộng và hạn chế ideal trên vành thương. Bài viết tiếp theo ta sẽ nghiên cứu về mở rộng và hạn chế ideal trên vành các thương.

Tài liệu tham khảo:
[1] M. F. Atiyah, Introduction to Commutative Algebra
[2] Serge Lang, Algebraic Number Theory
[3] J. S. Milne, Algebraic Number Theory