Liên kết Cauchy Schwarz. (Phần 1 đẳng thức)

 Đẳng thức 1. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}=3,$$
hay
$$x\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)+y\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+x} \right)+z\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y} \right)=3.$$
Đẳng thức 2. Với $x,y,z,k$  sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{x+ky}{x+ky}+\dfrac{y+kz}{y+kz}+\dfrac{z+kx}{z+kx}=3,$$
hay
$$x\left(\dfrac{1}{x+ky}+\dfrac{k}{kx+z}\right)+y\left(\dfrac{1}{y+kz}+\dfrac{k}{ky+x} \right)+z\left(\dfrac{1}{z+kx}+\dfrac{k}{kz+y} \right)=3.$$

Đẳng thức 3. Với $x,y,z,k,q$ sao cho $(qx+ky)(qy+kz)(qz+kx)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{qx+ky}{qx+ky}+\dfrac{qy+kz}{qy+kz}+\dfrac{qz+kx}{qz+kx}=3,$$
hay
$$x\left(\dfrac{q}{qx+ky}+\dfrac{k}{kx+qz}\right)+y\left(\dfrac{q}{qy+kz}+\dfrac{k}{ky+qx} \right)+z\left(\dfrac{q}{qz+kx}+\dfrac{k}{kz+qy} \right)=3.$$

Đẳng thức 4. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{z(x+y)}{x+y}+\dfrac{x(y+z)}{y+z}+\dfrac{y(z+x)}{z+x}=x+y+z,$$
hay
$$xy\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y}\right)+yz\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z} \right)+zx\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+z} \right)=x+y+z,$$
hay
$$x\left(\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y} \right)+y\left(\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z} \right)+z\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x} \right)=x+y+z.$$
Đẳng thức 5.  Với $x,y,z,k$ sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{z(x+ky)}{x+ky}+\dfrac{x(y+kz)}{y+kz}+\dfrac{y(z+kx)}{z+kx}=x+y+z,$$
hay
$$xy\left(\dfrac{k}{z+kx}+\dfrac{1}{kz+y}\right)+yz\left(\dfrac{k}{x+ky}+\dfrac{1}{kx+z} \right)+zx\left(\dfrac{k}{y+kz}+\dfrac{1}{ky+x} \right)=x+y+z.$$

Đẳng thức 6.  Với $x,y,z,k,q$ sao cho $(qx+ky)(qy+kz)(qz+kx)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{z(qx+ky)}{qx+ky}+\dfrac{x(qy+kz)}{qy+kz}+\dfrac{y(qz+kx)}{qz+kx}=x+y+z,$$
hay
$$xy\left(\dfrac{k}{qz+kx}+\dfrac{q}{kz+qy}\right)+yz\left(\dfrac{k}{qx+ky}+\dfrac{q}{kx+qz} \right)+zx\left(\dfrac{k}{qy+kz}+\dfrac{q}{ky+qx} \right)=x+y+z.$$
Đẳng thức 7.  Với $x,y,z$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng không, thì ta có
$$\dfrac{z(x^2+y^2)}{x^2+y^2}+\dfrac{x(y^2+z^2)}{y^2+z^2}+\dfrac{y(z^2+x^2)}{z^2+x^2}=x+y+z,$$
hay
$$ x^2\left(\dfrac{y}{x^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2} \right)+y^2\left(\dfrac{z}{y^2+x^2}+\dfrac{x}{y^2+z^2} \right)+z^2\left(\dfrac{x}{z^2+y^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2} \right) =x+y+z,$$
hay
$$xy\left(\dfrac{x}{x^2+z^2}+\dfrac{y}{y^2+z^2}\right)+yz\left(\dfrac{y}{y^2+x^2}+\dfrac{z}{z^2+x^2}\right)+zx\left(\dfrac{z}{z^2+y^2}+\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)=x+y+z.$$
Đẳng thức 8. Với $x,y,z,k$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng không, thì ta có
$$\dfrac{z(x^2+ky^2)}{x^2+ky^2}+\dfrac{x(y^2+kz^2)}{y^2+kz^2}+\dfrac{y(z^2+kx^2)}{z^2+kx^2}=x+y+z,$$
hay
$$ x^2\left(\dfrac{ky}{kx^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+ky^2} \right)+y^2\left(\dfrac{kz}{ky^2+x^2}+\dfrac{x}{y^2+kz^2} \right)+z^2\left(\dfrac{kx}{kz^2+y^2}+\dfrac{y}{z^2+kx^2} \right) =x+y+z.$$
Đẳng thức 9. Với $x,y,z,k,q$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng không, thì ta có
$$\dfrac{z(qx^2+ky^2)}{qx^2+ky^2}+\dfrac{x(qy^2+kz^2)}{qy^2+kz^2}+\dfrac{y(qz^2+kx^2)}{qz^2+kx^2}=x+y+z,$$
hay
$$ x^2\left(\dfrac{ky}{kx^2+qz^2}+\dfrac{qz}{qx^2+ky^2} \right)+y^2\left(\dfrac{kz}{ky^2+qx^2}+\dfrac{qx}{qy^2+kz^2} \right)+z^2\left(\dfrac{kx}{kz^2+qy^2}+\dfrac{qy}{qz^2+kx^2} \right) =x+y+z,$$
Đẳng thức 10. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{z^2(x+y)}{x+y}+\dfrac{x^2(y+z)}{y+z}+\dfrac{y^2(z+x)}{z+x}=x^2+y^2+z^2,$$
hay
$$ x\left(\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{x+z}\right)+ y\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{y+x}\right)+ z\left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{x^2}{z+y}\right)= x^2+y^2+z^2.$$
Đẳng thức 11. Với $x,y,z,k$ sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{z^2(x+ky)}{x+ky}+\dfrac{x^2(y+kz)}{y+kz}+\dfrac{y^2(z+kx)}{z+kx}=x^2+y^2+z^2,$$
hay
$$ x\left(\dfrac{z^2}{x+ky}+\dfrac{ky^2}{kx+z}\right)+ y\left(\dfrac{x^2}{y+kz}+\dfrac{kz^2}{ky+x}\right)+ z\left(\dfrac{y^2}{z+kx}+\dfrac{kx^2}{kz+y}\right)= x^2+y^2+z^2.$$
Vấn đề này là mở, vì thế phía sau nó còn rất nhiều và rất nhiều đẳng thức, độc giả tự xây dựng, từ đó có thể gốp thêm nhiều bài toán của riêng mình trong thế giới bất đẳng thức.

Reply