Với lượng kiến thức chuẩn bị ở hai phần trước, phần 3 hi vọng sẽ đưa ra được một phương pháp để khảo sát nhóm Galois của đa thức hệ số hữu tỉ (nếu có).
V. Định lí Dedekin về nhóm Galois của đa thức hệ số nguyên monic, tách được
Định lí Dedekin là một phương pháp để tìm các phần tử đặc biệt trong nhóm Galois của một đa thức hệ số nguyên monic, tách được từ đó xác định được nhóm Galois đó.
Cần chú ý rằng định lí này có thể áp dụng cho đa thức hệ số hữu tỉ monic, vì đa thức hữu tỉ hoàn toàn có thể đưa về đa thức hệ số nguyên monic thông qua phép co dãn. Thật vậy xét $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_0$ với $a_n,a_{n-1},a_{n-2},…,a_0\in\mathbb{Q}$. Khi đó tồn tại $d\in \mathbb{Z}-\{0\}$ sao cho $d.\frac{a_i}{a_n}\in\mathbb{Z}$ với mọi $1\le i\le n-1$. Từ đó đa thức:
\[g(x)=\frac{d^n}{a_n}f(\frac{x}{d})=x^n+d\frac{a_{n-1}}{a_n} x^{n-1}+…+d^n\frac{a_0}{a_n}\]

là đa thức hệ số nguyên monic, có cùng tập nghiệm với $f$. Do đó các tính chất về nhóm Galois của chúng là như nhau.
Ta phát biểu định lí Dedekin.
Định lí $1^{[2]}$: Cho $f\in\mathbb{Z}[x]$ là đa thức monic bậc $m$ và $p$ là số một nguyên tố. Khi đó:
• $f$ mod $p$ có nghiệm đơn khi và chỉ khi $D(f)$ không chia hết cho $p$.
• Giả sử $D(f)$ không chia hết cho $p$, đặt $f_p$ là đa thức trên $\mathbb{F}_p[x]$ xác định bởi $f$ theo mod $p$. Giả sử $f_p$ có phân tích trên $\mathbb{F}_p[x]$:\[f_p=\prod_{i=1}^k g_i\] với $g_i\in\mathbb{F}_p[x]$ bất khả quy với bậc $m_i$. Khi đó $G_f$ chứa một hoán vị với phân tích thành các xích có độ dài lần lượt là $m_1,m_2,…,m_k$ với \[n=m_1+m_2+…+m_k\]

Tính chất đầu tiên khá đơn giản, theo tính chất của $D(f)$ tính được qua hệ số đa thức, ta thấy ngay $D(f_p)=D(f)$ (mod $p$) và áp dụng định nghĩa của $D(f_p)$ là xong. Ý thứ hai phức tạp hơn rất nhiều mà chứng minh nó sẽ khá tốn giấy mực, bạn đọc có thể xem thêm trong mệnh đề 4.29, trang 56 của [1]. Nếu có thời gian tác giả sẽ hoàn thiện nó trong một bài viết khác, với 2 cách chứng minh với rất nhiều phương pháp và bổ đề hay.

VI. Phương án khảo sát nhóm Galois của đa thức hệ số hữu tỉ
Từ các kiến thức ta đã tổng hợp từ trước nay, ta có một quy trình để có thể khảo sát được nhóm Galois của đa thức hệ số hữu tỉ, cụ thể như sau:
Cho $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_0\in\mathbb{Z}[x]$, khảo sát $G_f$.
Bước 1: Tính $D(f)$ bởi công thức $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ nhân với định thức của ma trận:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_0&a_1&…&1&0&…&…&…&…&…& 0\\
0&a_0&a_1&…&1&0&…..&…&…&…&0\\
\ddots&\ddots &\ddots& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots &\ddots \\
0&…&…&…&…&…&0&a_0&a_1&…&1\\
a_1&2a_2&…&n&0&…&…&…&…&…& 0\\
0&a_1&2a_2&…&n&0&…..&…&…&…&0\\
\ddots&\ddots &\ddots& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots &\ddots \\
0&…&…&…&…&…&0&a_1&2a_2&…&n\\
\end{pmatrix}
\end{align*}
Lưu ý rằng $D(f)$ là số nguyên. Nếu $D(f)\ne 0$ thì đa thức của ta tách được. Từ đó ta mới có nhóm Galois để thực hiện các bước sau.
Tiện tay ta kiểm tra luôn $D(f)$ có là số chính phương (trên $\mathbb{Z}$) hay không? Nếu có thì $G_f\subset A_n$.
Bước 2: Xét các số nguyên tố $p$ không là ước của $D(f)$ (nên xét từ số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn rồi tăng dần) và xét $f_p$ là đa thức tạo bởi $f$ theo modulo $p$.
Về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong $\mathbb{F}_p$, đọc giả có thể xem thêm ở mục 2.5 trong [1]
Bước 3: Sau khi phân tích, áp dụng định lí Dedekin để chỉ ra được một lớp phần tử trong $G_f$.

Lưu ý rằng các bước trên chỉ là khảo sát nhóm Galois, nó sẽ cần kết hợp rất nhiều kết quả của nhóm đối xứng để có tác dụng đáng kể. Như ta đã nói, không có thuật toán nào tổng quát để tính nhóm Galois mà ta đang đi theo con đường tìm được nhiều tính chất có thể nhất để “đoán ra” được nó.
Tuy nhiên, tính chất trên sẽ giúp xây dựng được những đa thức có nhóm Galois $S_n$, một ứng dụng để chỉ ra một lượng lớn (mạnh hơn là phần lớn) các đa thức có nghiệm không giải được bằng căn thức. Ví dụ như áp dụng kết quả sau:
Bổ đề:
• Cho $\sigma\in S_n$, khi đó: $\sigma(i\text{ }j)\sigma^{-1}=(\sigma(i)\text{ } \sigma(j))$.
• Nhóm con $H\subset S_n$ chứa một chuyển vị và một xích cỡ $n-1$ thì $H=S_n$.

Từ bổ đề trên, ta xây dựng một đa thức bậc $6$ trên $\mathbb{Z}[x]$ có nhóm Galois $S_6$. Lưu ý rằng
\[x^2+x+1,x^3+x+1,x^3+x^2+1,x+1,x\] là tất cả các đa thức bất khả quy bậc $\le 3$ trong $\mathbb{F}_2[x]$. Không đa thức nào trong số chúng chia hết $f(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$ nên $f(x)$ bất khả quy trong $\mathbb{F}_2[x]$. Tương tự $x^5+x^4-x+1$ bất khả quy trong $\mathbb{F}_3[x]$. Đặt \[g(x)=x(x^5+x^4-x+1)\]\[h(x)=x(x-1)(x+1)(x+2)(x^2+2)\]\[F(x)=15f(x)+10g(x)-24h(x)\] Khi đó $F_2(x)=f(x)$ bất khả quy trong $\mathbb{F}_2[x]$, do đó $G_F$ chứa xích độ dài $6$. Tương tự $F_3(x)= g(x)$ nên $G_F$ chứa xích độ dài $5$ và $F_5(x)=h(x)$ nên $G_F$ chứa xích độ dài $2$. Từ đây ta có thể kết luận $G_F=S_6$.
Bằng phương pháp tương tự, với mọi $n$ ta đều có thể xây dựng được đa thức hệ số nguyên có nhóm Galois $S_n$.

Ví dụ cuối cùng, coi như một bài tập cho bạn đọc:
Bài toán: Cho $p$ là số nguyên tố và $f$ là đa thức bất khả quy bậc $p$ trên $\mathbb{Q}[x]$. Giả sử $f$ tách được trên $\mathbb{C}$ và có đúng 2 nghiệm thực, khi đó $G_f=S_p$.

Gợi ý cho bạn đọc là chứng minh không dùng đến định lí Dedekin, và cần bổ đề sau:
Với mọi $p$ nguyên tố thì $S_p$ sinh bởi một chuyển vị bất kì và một xích cỡ $p$

Tài liệu tham khảo:
[1] Polynomial, Victor V. Prasolov
[2] Fields and Galois theory, J. S. Milne
[3] https://maths.vn/tinh-nhom-galois-p2/