IMO SHORTLIST 2017 [NT]

Đây là bản dịch tiếng Việt của 8 bài toán Số Học ở IMO Shortlist 2017, lời giải các bài toán sẽ được sớm bổ xung.

P1. Với mỗi số nguyên dương $a_0$ lớn hơn $1$, ta xác định dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ bởi công thức truy hồi$$a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{nếu }\; \sqrt{a_n} \in\mathbb Z, \\
a_n + 3 & \text{nếu}\;\sqrt{a_n} \notin\mathbb Z.
\end{cases}
$$Xác định các giá trị $a_0$ sao cho tồn tại một số $A$ thỏa mãn $a_n=A$ với vô số giá trị $n$.

P2. Cho $p$ là một số nguyên tố, Eduardo và Fernando luân phiên chơi một trò như sau: Ở mỗi lần tới lượt mình, người chơi chọn một chỉ số $i\in\{1,\,2,\,\ldots ,\,p-1$ mà ở các lượt trước đó chưa ai chọn, sau đó chọn một $a_i\in\{0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,9,\,10\}$. Trò chơi được bắt đầu bằng chọn lựa của Eduardo và sẽ kết thúc khi tất cả chỉ số được chọn, sau đó để quyết định thắng thua người ta tính giá trị của$$M=a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{p-1}10^{p-1}= \sum_{i=0}^{p-1}a_i.10^i.$$Eduardo sẽ giành chiến thắng nếu $p\mid M$, còn ngược lại Fernando sẽ thắng. Chứng minh rằng, luôn có chiến lược thắng cho Fernando.

P3. Xác định tất cả các số nguyên dương $n>1$ có tính chất sau: Với bất kỳ các số nguyên $a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_n$ có tổng không chia hết cho $n$, thì tồn tại một chỉ số $i$ (với $1\le i\le n$) sao cho không có bội số nào của $n$ trong các số $a_i,\,a_i+a_{i+1},\,\ldots ,\,a_i+a_{i+1}+\ldots +a_{i+n-1}$. Ở đây, ta quy ước $a_k=a_{k-n}$ nếu $k>n.$

P4. Ta gọi một số hữu tỷ là “cụt”, nếu như nó chỉ có hữu hạn chữ số khi viết trong hệ thập phân. Với số nguyên dương $m$, ta nói một số nguyên dương $t$ là $m$-tastic nếu như tồn tại $c\in\{1,\,2,\,\ldots ,\,2017\}$ sao cho $\dfrac{10^t-1}{cm}$ là “cụt”  đồng thời $\dfrac{10^k-1}{cm}$ không là “cụt” với mọi số nguyên dương $k$ nhỏ hơn $t$. Gọi $S(m)$ là tập các số $m$-tastic, tìm giá trị lớn nhất của số phần tử của $S(m)$ với $m\in\mathbb Z^+$.

P5. Tìm các số nguyên tố $p$ và $q$ với $p>q$ sao cho $$\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1}\in\mathbb Z.$$

P6. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất, sao cho tồn tại vô số bộ $\left(a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_n\right)\in\mathbb Q^n$ phân biệt và thỏa mãn tổng và tổng các nghịch đảo của chúng đều là số nguyên.

P7. Một cặp số nguyên $(x,\,y)$ sắp thứ tự gọi là “điểm nguyên thủy” nếu $\gcd (x,\,y)=1$. Cho một tập hữu hạn $S$ các “điểm nguyên thủy”, chứng minh rằng tồn tại đa thức $P(x,\,y)\in\mathbb Z[x,\,y]$ thuần nhất bậc $n$ thỏa mãn\[P(x,\,y)=0\quad\forall\,(x,\,y)\in S.\]

P8. Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, giả sử hàm $f:\,\mathbb Z^+\times\mathbb Z^+\to\{0,\,1\}$ thỏa đồng thời các điều kiện sau

  • $f(1,1)=0$.
  • $f(a,b)+f(b,a)=1$ với mọi $a,\,b\in\mathbb Z^+$ thỏa $\gcd(a,\,b)=1$ và $a\ne b$.
  • $f(a+b,b)=f(a,b)$ với mọi $a,\,b\in\mathbb Z^+$ thỏa $\gcd(a,\,b)=1$.

Chứng minh rằng$$\sum_{n=1}^{p-1}f(n^2,p) \geqslant -2+\sqrt{2p}.$$

Tags: , ,

Reply