Giá trị lớn nhất-nhỏ nhất của $|17\cos x+19\sin x|+|11\cos x+23\sin x|$

Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $$M=|17\cos x+19\sin x|+|11\cos x+23\sin x|.$$

Lời giải. Xét các số phức $$z=\cos x+i\sin x,\quad \alpha =11-23i,\quad \beta=17-19i.$$Đặt $e=\frac{\beta}{\alpha}$, ta có $|e|=1$ và có các biến đổi-đánh giá sau\[\begin{array}{l}
2M &= \left| {\alpha z + \overline {\alpha z} } \right| + \left| {\beta z + \overline {\beta z} } \right| = \left| { – e} \right|\left| {\alpha z + \overline {\alpha z} } \right| + \left| {\beta z + \overline {\beta z} } \right|\\
&= \left| { – e\left( {\alpha z + \overline {\alpha z} } \right)} \right| + \left| {\beta z + \overline {\beta z} } \right| = \left| { – \beta z – e\overline {\alpha z} } \right| + \left| {\beta z + \overline {\beta z} } \right|\\
&\ge \left| { – \beta z – e\overline {\alpha z} + \beta z + \overline {\beta z} } \right| = \left| { – e\overline \alpha + \overline \beta } \right|\left| {\overline z } \right|\\
&= \left| { – e\overline \alpha + \overline \beta } \right| = \frac{{14\sqrt {26} }}{5}.
\end{array}\]Khi $x=-\arctan\left(\frac{17}{19}\right)$, thì $M= \frac{{7\sqrt {26} }}{5}$, cho nên giá trị nhỏ nhất cần tìm của $M$ sẽ là $\frac{{7\sqrt {26} }}{5}$. Lại có đánh giá sau đây\[M \le 28\left| {\cos x} \right| + 42\left| {\sin x} \right| \le 14\sqrt {13} .\]Và khi $x=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)$ thì $M=14\sqrt {13}$, vì thế mà giá trị lớn nhất cần tìm chính là $14\sqrt {13}$.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tags: , ,

Reply