Điều kiện để $m+2^nP(n)$ là số chính phương

Dưới đây là lời giải cho một bài toán rất khó về tính chất số học của đa thức.

Bài toán. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải.  Giả sử $P(x)$ và $m$ là đa thức và số nguyên dương thỏa mãn, ta có 2 nhận xét sau:

Nhận xét 1. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^nP(n)$ thì $p\mid P'(n).$

Chứng minh. Ta có $v_p\left(m+2^nP(n)\right)\ge 2$, theo Fermat bé thì\[m + {2^n}P\left( n \right) \equiv m + {2^{n + p\left( {p – 1} \right)}}P\left( {n + p\left( {p – 1} \right)} \right)\pmod{p}.\]Vì thế ta lại có $v_p\left(m+2^{n+p(p-1)}P\left(n+p(p-1)\right)\right)\ge 2$, theo bổ đề tiếp tuyến và định lý Euler ta có\[\begin{array}{l}
0 &\equiv m + {2^{n + p(p – 1)}}P\left( {n + p(p – 1)} \right)\\
&\equiv m + {2^n}P\left( n \right) + {2^n}p\left( {p – 1} \right)P’\left( n \right)\quad \left( {\bmod {p^2}} \right).
\end{array}\] Từ đây có $p\mid P'(n)$.

Nhận xét 2. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^KP(n)$ với $K\in\mathbb Z^+$ thì $p\mid P'(n).$

Chứng minh. Theo định lý thặng dư Trung Hoa, sẽ tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho $N\equiv K\pmod{p-1}$ và $N\equiv n\pmod p$, từ đây có\[p\mid\left(m+2^NP(N)\right).\]Do đó theo nhận xét 1, thì $p\mid P'(N)$ nhưng $P'(x)\in\mathbb Z[x]$ nên từ $N\equiv n\pmod p$ ta có\[p\mid P'(n).\]

Quay lại bài toán, với mỗi $n\in\mathbb Z^+$ (đủ lớn) sẽ có vô số số nguyên tố $p$ có dạng $8k+3$ đồng thời $p>\max\{m,\,P(n)\}$. Lúc này ta để ý rằng $\left(\dfrac{2}{p}\right)=-1$, cho nên $2$ là căn nguyên thuỷ modulo $p$ khi đó sẽ tồn tại $K$ sao cho $p\mid\left(m+2^KP(n)\right)$ (ta chọn $K=\text{ind}_2\left({-m\overline{P}}\right)$ với $\overline{P}$ là nghịch đảo của $P(n)$ theo mod $p$), theo nhận xét 2 thì $$p\mid P'(n).$$ Do có vô số số nguyên tố $p$ như thế, và giá trị của chúng có thể lớn tuỳ ý nên\[P'(n)=0.\]
Từ đây ta thấy rằng phương trình $P'(x)=0$ có vô số nghiệm, nên $P(x)=C:\text{const}$. Bài toán trở thành quen thuộc! Và kết quả của nó là $P(x)=0$ còn $m$ là số chính phương.

$\square$

Tags: , , , , , ,

  1. Shelia’s avatar

    I like what you guys are up too. Thhis type of clever work and reporting!
    Keepp up the fantastic works guys I’ve yoou guys
    to blogroll.

  2. Shelia’s avatar

    I like what you guys are up too. This type of clever wwork and
    reporting! Keep up the fantastic works guys I’ve you guys to blogroll.

  3. Neuro Brilliance’s avatar

    Hello.This article was really motivating, particularly since I was searching for thoughts on this subject last Wednesday.

  4. Neuro Brilliance’s avatar

    Hello.This article was really motivating, particularly since I was
    searching for thoughts on this subject last
    Wednesday.

  5. Narvi Testo’s avatar

    Hi there every one, here every one is sharing these knowledge, so it’s pleasant to read this web site, and I used to pay a visit this blog daily.

  6. Narvi Testo’s avatar

    Hi there every one, here every one is sharing these knowledge, so it’s pleasant to read this web site, and
    I used to pay a visit this blog daily.

Reply