Đa thức bất khả quy

12/10/2023 in Số Học by Mr 2M | No comments

Tình cờ gặp bài toán sau, nên ngồi vã thử phát

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố dạng $4k+3$, các số nguyên $a,\,b$ thỏa mãn $$\min\left\{v_p(a),\;v_p(b-1)\right\}=1.$$ Chứng minh rằng, $f(x)=x^{2p}+ax+b$ bất khả quy ở trên $\mathbb Z[x]$.

Lời giải. Vì $p\mid a$ và $b\equiv 1\pmod p$, xét trên $\mathbb F_p[x]$ có

\[f\left( x \right) = {x^{2p}} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^p}.\]Mặt khác, $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$, nên trên $\mathbb F_p[x]$ đa thức $p(x)=x^2+1$ bất khả quy. Lợi dụng tính UFD của $\mathbb F_p[x]$, thì nếu $f=gh$ với $g,\,h$ là các nhân tử bậc dương, lúc đó sẽ tồn tại $k,\,l\in\mathbb N^*$ để trên $\mathbb F_p[x]$ có \[g\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^k},\quad h\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^l}.\]Giờ thay $x=i$ vào sẽ có\[b – 1 + ia = {\left( i \right)^{2p}} + ai + b = f\left( i \right) = g\left( i \right)h\left( i \right).\]Để ý là tồn tại $u,\,v\in\mathbb Z[i]$ để $g(i)=pu,\,h(i)=pv$, ta có được\[b – 1 + ai = {p^2}uv.\]Nên là đồng nhất được\[b – 1 = {p^2}\text{Re}\left( {uv} \right),\;a = {p^2}\text{Im}\left( {uv} \right).\] Và cho ta mâu thuẫn là
\[2 \le \min \left\{ {{v_p}\left( a \right),{\mkern 1mu} {v_p}\left( {b – 1} \right)} \right\} = 1.\]

$\square$

Reply