Có rất là nhiều các chứng minh cho sự vô hạn của tập các số nguyên tố, ngây thơ-sơ cấp có mà 18+ cũng nhiều. Bạn nào mà tham lam, thì lên Arxiv kiếm cái bài EUCLID’S THEOREM ON THE INFINITUDE OF PRIMES: A HISTORICAL SURVEY OF ITS PROOFS . Ở bài viết nhỏ này, tôi xin trình bày lại một chứng minh mà tôi biết. Nó đã được đăng trên tạp chí Mathematics Magazine, và tác giả của nó là Haydar Goral, một bác bên Thổ Nhĩ Kỳ, nội dung như sau đây.

Trước tiên, ta cần nói đến khái niệm metric (khoảng cách).

Cho tập $X\ne\emptyset$, xét một phiếm hàm (tức là một ánh xạ có nguồn là tập số) là\begin{align*}
d:&X \times X \to \left[{0;{\mkern 1mu} + \infty } \right),\\
&\left( {x,\,{x^\prime }} \right) \mapsto d\left( {x,\,{x^\prime }} \right).
\end{align*}Cặp $(X,\,d)$ đó, sẽ được gọi là một không gian metric (với $d$ gọi là khoảng cách), nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.

1. Đối xứng: $d\left( {x,\,{x^\prime }} \right)=d\left( {{x^\prime }},\,x \right)$ với mọi ${x,\,{x^\prime }}\in X$.
2. Xác định dương: $d\left( {x,\,{x^\prime }} \right)\ge 0$ với mọi ${x,\,{x^\prime }}\in X$, dấu “=” $\Longleftrightarrow x=x^\prime$.
3. Bất đẳng thức tam giác: $d(a,\,b)\le d(a,\,c)+d(c,\,b)$ với mọi $a,\,b,\,c\in X$.

Ví dụ, cặp $\left(\mathbb R,\,d\right)$ với $d(x,\,y)=|x-y|$ là một không gian metric, không gian hình học ba chiều với $d$ là khoảng cách hình học thông thường cũng vậy.

Nếu thay điều kiện cuối cùng (bất đẳng thức tam giác), bởi điều kiện yếu hơn là\[d\left( {a,{\mkern 1mu} b} \right) \le \max \left\{ {d\left( {a,{\mkern 1mu} c} \right),\:d\left( {b,{\mkern 1mu} c} \right)} \right\},\] thì ta gọi cặp $(X,\,d)$ kia là môt không gian Ultrametric.

Bây giờ, với $p$ là một số nguyên tố, thế thì do với $x,\,y\in\mathbb Q$ bất kỳ có\[{v_p}\left( {x + y} \right) \ge \min \left\{ {{v_p}\left( x \right),\,{v_p}\left( y \right)} \right\}.\]Nên ta thấy cặp $\left(\mathbb Q,\,d_p\right)$ là một không gian Ultrametric, trong đó với mỗi cặp số hữu tỷ $(a,\,b)$ thì hàm khoảng cách được định nghĩa là\[{d_p}\left( {a,{\mkern 1mu} b} \right) = {p^{ – {v_p}\left( {a – b} \right)}}.\]Với khoảng cách $d_p$ vừa rồi, giờ ta lấy các số nguyên tố phân biệt $p$ và $q$. Khi đó cặp $\left(\mathbb Z,\,d\right)$ cũng là một không gian metric nhưng không là Ultrametric, ở đây với mỗi cặp số số nguyên $(a,\,b)$ thì hàm khoảng cách được định nghĩa là\[d\left( {a,{\mkern 1mu} b} \right) = {d_p}\left( {a,{\mkern 1mu} b} \right) + {d_q}\left( {a,{\mkern 1mu} b} \right).\]Giờ, ta đi chứng minh tập số nguyên tố $\mathbb P$ là vô hạn bằng phản chứng, như sau.

Chứng minh sự vô hạn của $\bf\mathbb P$. Giả sử tập các số nguyên tố $\mathbb P$ là hữu hạn, viết liệt kê $\mathbb P=\left\{p_1,\,p_2,\,\ldots ,\,p_k\right\}$. Lúc đó cặp $\left(\mathbb Z,\,d\right)$ là một không gian metric, ở đây với mỗi cặp số số nguyên $(x,\,y)$ thì hàm khoảng cách được định nghĩa là\[d\left( {x,\,y} \right) = \sum\limits_{p \in\mathbb P} {{d_p}\left( {x,{\mkern 1mu} y} \right)} .\]Với mỗi số nguyên $m$, ta có$$d(m, m+1)=d(m, m-1)=\sum_{p \in \mathbb{P}} 1=k.$$ Nếu $n\notin\{m-1,\,m,\,m+1\}$ thì do $|m-n|>2$, nên sẽ phải tồn tại một số nguyên tố $q$ nào đó để $d_q(m-n)\le q^{-v_q|m-n|}\le \frac{1}{2}$, từ đó có \begin{align*}
d(m, n) &=d_{q}(m,\,n)+\sum_{p \in \mathbb{P} \setminus\{ q\}}d_{p}(m,\,n) \\
& \leq k-\frac{1}{2}\\&=d(m+1,\,m-1).
\end{align*}Bây giờ với $m= \left( {\prod\limits_{p \in \mathbb P} p } \right)^{2k}-1$ xét tập hợp \[B= \left\{ x \in\mathbb Z :\;d(x,\,m + 1) < \frac{1}{2}\right\}.\]Rõ ràng $m+1\in B$, và nếu $B$ có một phần tử $n\ne m+1$ thì $n\notin\{m-1,\,m\}$ do $k>k-\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}$, từ đó $d(m,\,n)\le k-\frac{1}{2}$. Mà, $d$ là metric, nên có mâu thuẫn $$k=d(m, m+1) \leq d(m, n)+d(m+1, n)<k-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=k.$$Vậy $B=\{m+1\}$, và từ bất đẳng thức Bernoulli ta có mâu thuẫn là $0\in B$ do\[d(m + 1,0) = \frac{1}{{p_1^{2k}}} + \cdots + \frac{1}{{p_k^{2k}}} < \frac{k}{{{4^k}}} \le \frac{k}{{1 + 3k}} < \frac{1}{2}.\]

$\square$

Nhân cái chuyện nói đên ultrametric, tôi đưa ra mấy tính chất cơ bản, như sau.

Tính chất 1. Cho $\left(X,\,d\right)$ là một không gian Ultrametric, lấy $a,\,a^\prime\in X$ và các số thực dương $r,\,r^\prime$, xét các quả cầu mở là các tập hợp sau \[B\left( {a,{\mkern 1mu} r} \right) = \left\{ {x \in X:\:d\left( {a,{\mkern 1mu} x} \right) < r} \right\},\quad \;\,{B^\prime }\left( {{a^\prime },{\mkern 1mu} {r^\prime }} \right) = \left\{ {x \in X:\:d\left( {{a^\prime },{\mkern 1mu} x} \right) < {r^\prime }} \right\}.\]Khi đó, nếu như hai quả cầu đó có điểm chung, thì một quả cầu nào đó trong chúng, sẽ phải chứa chứa quả cầu còn lại.

Chú ý. Cho $\left(X,\,d\right)$ là một không gian metric, một tập con $S$ của $X$ được gọi là một tập mở nếu như lấy bất kỳ $s\in S$ thì đều tồn tại một quả cầu mở $B(s,\,r)$ để sao cho\[B(s,\,r)\subset S.\]Một tập con của $X$ là $S^\prime$ gọi là tập đóng nếu và chỉ nếu $X\setminus S^\prime$ là tập mở. Ta cũng ký hiệu quả cầu đóng tâm $c\in X$ bán kính $r$ là tập\[\overline B\left( {c,{\mkern 1mu} r} \right) = \left\{ {x \in X:\:d\left( {c,{\mkern 1mu} x} \right) \le r} \right\}.\]Tính chất 2. Cho $\left(X,\,d\right)$ là một Ultrametric. Khi đó, quả cầu mở ở trong không gian $\left(X,\,d\right)$ đó vừa là tập mở vừa là tập đóng. Các quả cầu đóng cũng vậy.

Tính chất 3. Cho $\left(X,\,d\right)$ là một không gian Ultrametric, lấy $a,\,b,\,c\in X$ với $a\ne b$ và một số thực dương $r$. Khi đó, nếu $B(a,\,r)$ và $B(b,\,r)$ là hai quả cầu mở rời nhau và nằm trong quả cầu đóng $\overline B\left( {c,{\mkern 1mu} r} \right)$ thì sẽ có\[\inf \left\{ {d\left( {\alpha ,{\mkern 1mu} \beta } \right):\;\;\,\alpha \in B\left( {a,{\mkern 1mu} r} \right),\:\beta \in B\left( {b,{\mkern 1mu} r} \right)} \right\} = r.\]

Khi nào thật rảnh háng, tôi sẽ nói về vài ý sơ cấp liên quan chúng.