Toán cao cấp

You are currently browsing the archive for the Toán cao cấp category.

Có 3 định lí đồng cấu nhóm cơ bản, ở bài viết này chúng ta quan tâm đến việc mở rộng định lí đồng cấu thứ 2, từ đó áp dụng chứng minh bổ đề Zassenhaus. Ngoài ra ta cũng bàn về nhóm con chuẩn tắc và tính giao hoán.

Cho $(G,.)$ là một nhóm. Nhắc lại rằng $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ nếu $H$ là nhóm con và $xH=Hx$ với mọi $x\in G$.
Nói cách khác $H$ giao hoán với bất kì phần tử nào của $G$, do đó $H$ giao hoán với bất kì tập con nào của $G$. Từ ý tưởng đó ta có mệnh đề sau:

Read the rest of this entry »

Một trong những bài toán kinh điển nhất khi nghiên cứu các cấu trúc đại số là phân loại chúng, nghiên cứu xem với điều kiện gì thì hai cấu trúc như vậy đẳng cấu với nhau. Ta có thể làm điều này với các nhóm Abel hữu hạn bằng việc xét chúng như các module trên miền chính ($\mathbb{Z}$-module). Bài viết dựa trên chương 12 của [1].

I. Phân loại module hữu hạn sinh trên miền chính
Cho $A$ là miền chính ( vành mà mọi ideal đều sinh bởi 1 phần tử ).
Nói chung việc phân loại module tổng quát rất khó vì ta không có gì để đối chiếu chúng. Bài toán phân loại sẽ dễ dàng hơn khi ta xét trên module tự do, đặc biệt trên miền chính ta có một kết quả rất mạnh tương tự như với không gian véc tơ: module của một module tự do cũng là module tự do.

Read the rest of this entry »

Ta đã tiếp cận nhiều bài toán cấp 2, được cho ở dạng chứng minh một biểu thức đối xứng nào đó là số hữu tỉ, ví dụ như:

Bài toán 1: Chứng minh rằng: $a^4+b^4$ là số hữu tỉ với $a=1+\sqrt{5}$ và $b=1-\sqrt{5}$

Bài toán 2: Chứng minh rằng: $a^3b+b^4$ không là số hữu tỉ với $a=1+\sqrt{5}$ và $b=1-\sqrt{5}$

Nhận thấy ngay rằng $a,b$ ở trên đều là nghiệm vô tỉ của đa thức hữu tỉ nào đó.
Vậy thì tại sao khi biểu thức của các nghiệm là đối xứng thì nó là hữu tỉ?
Liệu trường hợp biểu thức đó không đối xứng thì có phải nó luôn vô tỉ không? Nếu không thì khi nào nó xảy ra? Read the rest of this entry »

Ở bài viết http://maths.vn/sap-day-cac-so-huu-ty/, chúng ta biết rằng $\mathbb Q$ là một tập đếm được, nghĩa là ta có thể sắp tất cả các số hữu tỷ thành một dãy số. Tập $\mathbb Q$ lại là một tập con thực sự của tập số thực $\mathbb R$, và theo như bổ đề Cantor đã trình bày ở bài  http://maths.vn/dieu-kien-don-dieu-cua-ham-kha-vi/, thì tập hợp các số hữu tỷ “thưa thớt” hơn tập số thực. Tuy nhiên, theo như quá trình xây dựng $\mathbb R$ qua các lát cắt trên $\mathbb Q$, thì có một đặc tính rất quan trọng của $\mathbb Q$ ở trong Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Bài toán mà Hải Thanh hỏi.

Bài toán. Tìm min của $f(x)=6x_1+x_2+x_3+3x_4+x_5-x_6$, với ràng buộc $x_i\ge 0$ với $i=\overline{1,\,6}$ và\[\left\{ \begin{array}{l}
– {x_1} + {x_2} – {x_4} + {x_6} = 15\\
2{x_1} – {x_3} + 2{x_6} = – 9\\
4{x_1} + 2{x_4} + {x_5} – 3{x_6} = 2
\end{array} \right.\] Read the rest of this entry »

Tags:

Tính chuẩn tắc trong phần lớn các tài liệu, chỉ được định nghĩa liên quan đến các nhóm con của một nhóm cho trước. Điều này vô tình gò bó một tính chất độc lập, vậy nên bài viết này sẽ mở rộng tính chuẩn tắc thông thường. Read the rest of this entry »

Câu hỏi: Khi nào 2 nhóm $(A,B)$ thỏa mãn tồn tại $f$ để $(A,B)=(Kerf,Imf)$.

 Để trả lời câu hỏi này,chúng ta xây dựng nên nhóm con chuẩn tắc,nhóm thương ,cũng như chỉ ra sự quan hệ giữa đồng cấu với hạt nhân và ảnh của một đồng cấu, qua đó là góc nhìn quan hệ nhóm con chuẩn tắc dưới dạng đồng cấu nhóm
I.Mở đầu
-Khái niệm về nhóm,nhóm con và khái niệm cơ bản về đồng cấu,các loại đồng cấu trong [1]
-Cho nhóm $G$,kí hiệu $e_G$ là phần tử đơn vị của $G$
-Cho $f:G \rightarrow H$ là một đồng cấu: Read the rest of this entry »