Số Học

You are currently browsing the archive for the Số Học category.

Bài toán. Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}_{n\in\mathbb N^*}$, thỏa mãn $a_1=a$ và\[a_{n+1}=a_n^2+1,\quad\forall\,n\in\mathbb N^*.\]Chứng minh rằng không tồn tại $n\in\mathbb N^*$ sao cho $\prod\limits_{1 \le k \le n} {\left( {a_k^2 + {a_k} + 1} \right)} $ là một số chính phương. Read the rest of this entry »

Tags: ,

Bài toán. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $s_n$ là số cặp số nguyên $(x,\,y)$ thỏa mãn \[x^2+y^2\le n^2.\]Ở đây, nếu $a\ne b$ thì hai cặp $(a,\,b)$ và $(b,\,a)$ gọi là khác nhau, tính $\lim\dfrac{\sqrt{s_n}}{n}$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán: Cho đa giác đều $H$ hữu hạn đỉnh. Ta tô màu các đỉnh đa giác bằng một số màu thỏa mãn các đỉnh cùng màu tạo nên một đa giác đều. Chứng minh rằng tồn tại 2 đa giác đều đơn sắc đồng dạng. Read the rest of this entry »

Bài toán Dãy số nguyên $\left( {{x_n}} \right)$, thỏa $0\le x_0<x_1\le 100$ và\[{x_{n + 2}} = 7{x_{n+1}} – {x_n} + 280,\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]

  1. Với $x_0=2,\,x_1=3$, chứng minh rằng tổng các ước số dương của $x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+2018$ là bội số của $24$.
  2. Tìm các cặp $\left(x_0,\,x_1\right)$ sao cho $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Bài toán về đa thức sau đây, có thể sử dụng một skill kinh điển của Số Học, đó là Vieta jumping

Bài toán. Tìm các cặp đa thức có hệ số phức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P^2(x)+1$ chia hết cho $Q(x)$ và $Q^2(x)+1$ chia hết cho $P(x)$. Read the rest of this entry »

Bài toán.  Một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ gọi là “cặp số tốt” nếu như $a$ và $b$ có cùng tập ước nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại vô số các “cặp số tốt” $(m,\,n)$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho $(m+1,\,n+1)$ cũng là “cặp số tốt”.

Lời giải. Với số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$ bất kỳ, ta chọn $m=2^{k+1}\left(2^{k-1}-1\right)$ và $n=2\left(2^{k-1}-1\right)$. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.

P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Bài toán. Tìm $y\in\mathbb R$ thỏa$$y^3+4y^2+3y-1=0.$$

Lời giải. Đặt $y=\frac{x-4}{3}$, ta có \[\begin{align*}
{y^3} + 4{y^2} + 3y – 1 &= {\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^3} + 4{\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^2} + 3\left( { \frac{x-4}{3}} \right) – 1\\
&= \frac{1}{{27}}\left( {{x^3} – 21x – 7} \right). Read the rest of this entry »

Bài toán T3/493 trên THTT (tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ), có nội dung như sau.

Bài toán. Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[2^m=n^3-5n+10.\]

Bài toán này, có lời giải đăng trên báo THTT số 497. Tuy nhiên rất tiếc là lời giải bị sai bét, do mắc một sai lầm hết sức ngây thơ, đó là với $a,\,m$ là các số nguyên dương chẵn $b,\,n$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $ab=mn$ thì kéo theo $a=m$ và $b=n$.

Sau đây, là một lời giải đúng cho bài toán đó. Read the rest of this entry »

Tags:

Đây là bản dịch tiếng Việt của 8 bài toán Số Học ở IMO Shortlist 2017, lời giải các bài toán sẽ được sớm bổ xung.

P1. Với mỗi số nguyên dương $a_0$ lớn hơn $1$, ta xác định dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ bởi công thức truy hồi$$a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{nếu }\; \sqrt{a_n} \in\mathbb Z, \\
a_n + 3 & \text{nếu}\;\sqrt{a_n} \notin\mathbb Z.
\end{cases}
$$Xác định các giá trị $a_0$ sao cho tồn tại một số $A$ thỏa mãn $a_n=A$ với vô số giá trị $n$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

« Older entries