Có người đồng nghiệp nhờ tôi chứng minh giúp định lý sau đây

Định lý Con Nhím. Cho tứ diện $ABCD$, chứng minh rằng tổng các vector pháp tuyến diện tích của các mặt tứ diện hướng ra phía ngoài bằng vector 0.

Tình cờ gặp bài toán sau, nên ngồi vã thử phát

Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố dạng $4k+3$, các số nguyên $a,\,b$ thỏa mãn $$\min\left\{v_p(a),\;v_p(b-1)\right\}=1.$$ Chứng minh rằng, $f(x)=x^{2p}+ax+b$ bất khả quy ở trên $\mathbb Z[x]$.

Với $\alpha$ là một số thực, ta biết rằng có công thức sau $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.$$ Vì vậy, nếu thiết lập dãy $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N}$ trong đó $s_0\in [-1;\,1]$, còn cứ với $n\in\mathbb N$ có $$s_{n+1}=2s_n^2-1.$$ Thế thì bằng cách viết $s_0=\cos\alpha$, sau truy toán, ta có ngay công thức số hạng tổng quát của dãy sẽ là $$s_n=\cos 2^n\alpha.$$

Bài viết tiếp nối phần 1 ở [4].
III. Mở rộng và hạn chế ideal trên vành các thương
Trong mục này, ta sẽ xét $A$ là miền nguyên và $S$ là tập con nhân tính của $A$ ($0\notin S$) và $B=S^{-1}A$ với $f:A\rightarrow S^{-1}A, x\mapsto x/1$. Tức là ở đây ta coi $A$ thực sự nằm trong $S^{-1}A$.

Xét $\mathfrak{a}$ là ideal trong $A$ và $\mathfrak{A}$ là ideal trong $S^{-1}A$ , khi đó $\mathfrak{a}^e=S^{-1}A\mathfrak{a}=S^{-1}\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{A}^c=\mathfrak{A}\cap A$.
Giờ ta đi tìm họ các ideal mở rộng và ideal hạn chế trong trường hợp này.
Mệnh đề 8: Cho $\mathfrak{A}$ là ideal của $S^{-1}A$. Khi đó $\mathfrak{A}^{ce}=\mathfrak{A}$ hay $E=I(S^{-1}A)$.
Chứng minh. Hiển nhiên $\mathfrak{A}^{ce}=S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$ nằm trong $\mathfrak{A}$. Điều ngược lại cũng đúng vì xét $a/s\in \mathfrak{A}$ với $a\in A,s\in S$ thì $s.a/s=a\in \mathfrak{A}$ nên $a\in \mathfrak{A}\cap A$ nên $a/s\in S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$.
Do từ mệnh đề 2 ta có $E=\{\mathfrak{B}\lhd S^{-1}A:\mathfrak{B}^{ce}=\mathfrak{B}\}$ nên ta có điều phải chứng minh.