You are currently browsing the archive for the Giải Tích category.
Với các bạn học sinh, trước khi tiếp cận bài viết này, nên đọc qua bài viết ở link sau http://maths.vn/lat-cat/
Ở bài viết nói trên, tôi đã lấy một ví dụ về sự tồn tại một lát cắt vô tỷ, đó là
$$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Lát cắt này về thực chất, là lát cắt xác định số vô tỷ $\sqrt[3]{2}$. Cũng ở bài viết đó, ta đã có khái niệm về tích các lát cắt, và như chúng ta vẫn khơi khơi thừa nhận thì $$\sqrt[3]{2}^3=2.$$ Vậy là có ngay bài toán sau
Một lát cắt $C$ là một tập con thực sự của $\mathbb Q$, thỏa mãn đồng thời các điều kiện
Cho $a$ là một số hữu tỷ, ta có thể dễ dàng kiểm chứng $C_a$ là một lát cắt trong đó $$C_a=\left\{x\in\mathbb Q:\;x<a\right\}.$$ Những lát cắt kiểu này, gọi là lát cắt xác định số hữu tỷ, ngoài ra ta có thể kiểm tra tập hợp sau đây cũng là một lát cắt $$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Cũng có thể chứng minh được rằng $S\ne C_a$ với mọi số hữu tỷ $a$, nói khác đi thì cái lát cắt $S$ kia nó không phải là lát cắt xác định số hữu tỷ. Lát cắt kiểu như $S$, tức là các lát cắt khác các lát cắt xác định số hữu tỷ, sẽ được gọi là lát cắt xác định số vô tỷ.
Read the rest of this entry »Tập số thực $\mathbb R$ vốn được định nghĩa rất chặt chẽ qua các lát cắt hữu tỷ, từ khái niệm đó ta có định lý của Dedekind và sinh ra tự nhiên nguyên lý inf-sup. Chỉ có điều rất trái khoáy, là sgk lại không trình bày nền tảng Giải Tích theo lối đó, họ trình bày khái niệm giới hạn theo trình tự: mô tả giới hạn của dãy hội tụ về 0, sau đó đưa ra khái niệm dãy $\left(s_n\right)$ hội tụ về một số thực $l$ nhờ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left({s_n} -l\right)=0$. Read the rest of this entry »
Ở bài viết http://maths.vn/sap-day-cac-so-huu-ty/, chúng ta biết rằng $\mathbb Q$ là một tập đếm được, nghĩa là ta có thể sắp tất cả các số hữu tỷ thành một dãy số. Tập $\mathbb Q$ lại là một tập con thực sự của tập số thực $\mathbb R$, và theo như bổ đề Cantor đã trình bày ở bài http://maths.vn/dieu-kien-don-dieu-cua-ham-kha-vi/, thì tập hợp các số hữu tỷ “thưa thớt” hơn tập số thực. Tuy nhiên, theo như quá trình xây dựng $\mathbb R$ qua các lát cắt trên $\mathbb Q$, thì có một đặc tính rất quan trọng của $\mathbb Q$ ở trong Read the rest of this entry »
Có rất là nhiều các chứng minh cho sự vô hạn của tập các số nguyên tố, ngây thơ-sơ cấp có mà 18+ cũng nhiều. Bạn nào mà tham lam, thì lên Arxiv kiếm cái bài EUCLID’S THEOREM ON THE INFINITUDE OF PRIMES: A HISTORICAL SURVEY OF ITS PROOFS . Ở bài viết nhỏ này, tôi xin trình bày lại một chứng minh mà tôi biết. Nó đã được đăng trên tạp chí Mathematics Magazine, và tác giả của nó là Haydar Goral, một bác bên Thổ Nhĩ Kỳ, nội dung như sau đây. Read the rest of this entry »
Tags: Định Giá p-adic, metric, ultrametric
Trong cái đề thi minh hoạ cho đề thi THPT QG của bộ Dục, có bài toán sau đây.
Bài toán 1. Cho $f(x)$ là một hàm liên tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn \[xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 – {x^2}} \right) = – {x^{10}} + {x^6} – 2x,\quad \forall {\mkern 1mu} x \in \mathbb R.\]Tính tích phân $I=\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx.}}$
Chép như thế, là chưa có đầy đủ, bởi vì dưới nội dung đã nêu theo đề gốc còn 4 cái đáp án A, B, C, D cho các cháu học sinh chúng nó chọn. Mình không quan tâm cái đó, và vì tính tích phân chậm, nên cái mình quan tâm là bài toán sau. Read the rest of this entry »
Tags: Bài Tập Vặt, Dãy Số, Phương Trình Hàm
Đọc sách gặp một vấn đề khá thú vị, nên tôi trình bày ra đây.
Cho $f,\,g:\;\mathbb R\to\mathbb R$ là các hàm có đạo hàm (khả vi) trên khắp $\mathbb R$, khi đó thì chắc chắn $f(x)+g(x)$ cũng là một hàm có đạo hàm trên $\mathbb R$, và ta có công thức\[{f^\prime }\left( x \right) + {g^\prime }\left( x \right) = {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime }.\] Câu hỏi rất lăn tăn và hồn nhiên đặt ra là: Khi mà đã sẵn có $f^\prime(x)$ và $g^\prime(x)$ trên khắp $\mathbb R$, thì liệu có luôn tồn tại hay không một hàm $h(x)$ cũng khả vi trên khắp $\mathbb R$ để sao cho với mỗi số thực $x$ ta đều có đẳng thức $$f^\prime(x)g^\prime(x)=h^\prime(x)?$$
Trong tình huống $f$ và $g$ khả vi liên tục trên $\mathbb R$, câu trả lời ắt là tầm thường. Read the rest of this entry »
Cho trước các đa thức hệ số thực là $f(x)$ và $g(x)$, trong đó $\deg g>0$ khi đó ta luôn có thể viết phân tích chính tắc của $g$ dưới dạng\[g\left( x \right) = c{p_1}{\left( x \right)^{{k_1}}}{p_2}{\left( x \right)^{{k_2}}} \ldots {p_n}{\left( x \right)^{{k_n}}}.\]Ở đây, $c$ là một hằng số thực khác $0$ (là hệ số bậc cao nhất của $g(x)$), còn $p_i(x)$ là các đa thức monic bất khả quy trên $\mathbb R[x]$, tức là các đa thức ở dạng $x-r_i$ hoặc $x^2+a_ix+b_i$ với $r_i,\,a_i,\,b_i$ là các số thực đồng thời $\Delta_i=a_i^2-4b_i<0$. Read the rest of this entry »
Đây là câu hỏi của một bạn giáo viên trên group của các giáo viên . Tôi thấy nó là một câu hỏi giàu ý nghĩa, do đó tôi viết bài này. Trước tiên, xin nhắc lại là vấn đề được bạn giáo viên trong group đó đặt ra như sau.
Bài toán. Cho $a$ là một số thực dương còn $\alpha$ là một số vô tỷ, giả sử có hai dãy số hữu tỷ cùng hội tụ về $\alpha$ là $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(t_n\right)_{n\in\mathbb N}$, xét hai dãy cho bởi sự gán trị\[{u_n} = {a^{{r_n}}},\quad {v_n} = {a^{{t_n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Chứng minh rằng, $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến một giới hạn.
Chú ý rằng, nếu bài toán vừa đưa ra được giải quyết, thì ta sẽ có được định nghĩa tốt cho $a^{\alpha}$. Theo đó thì, giá trị của $a^{\alpha}$ chính là kết quả giới hạn duy nhất mà các dãy $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến. Giờ, ta sẽ xử lý bài toán kia. Read the rest of this entry »
Tình cờ đọc trên facebook thấy có một bạn hỏi một bài toán Giải Tích cơ bản có liên quan đến hàm lồi, như sau đây
Bài toán. Cho $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ là một hàm lồi không giảm. Chứng minh rằng, tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và kết quả giới hạn đó là một số thực không âm. Read the rest of this entry »
Tags: Cận Dưới Đúng, Hàm Lồi, Inf, Nền Tảng
“How to Solve It” là tên một cuốn sách nổi tiếng của G.Pólya, một nhà sư phạm Toán Học nổi tiếng. Tôi mạo phép mượn nó làm tiêu đề cho chuỗi bài viết này, một chuỗi bài tôi muốn viết từ lâu. Nguyên nhân khoan hoãn và trù trừ cho dự định viết chuỗi bài này, vì tôi cảm thấy tự ti bởi năng lực bản thân, sợ viết ra rồi bị đánh giá là lên gân etc vv.. Tuy nhiên, do bản chất công việc phải làm hằng ngày, nên tôi lại hiểu rõ trách nhiệm mình cần làm. Thôi thì cứ viết lại những gì mình cảm nhận, hy vọng nó có ích với một số đối tượng nhất định. Read the rest of this entry »
Cá nhân tôi nghĩ rằng, khởi đầu của Số Học có lẽ là từ sự nhận thức của con người về tập hợp số tự nhiên $\mathbb N$, về bản năng thì điều này rất.. tự nhiên do nhu cầu đếm. Tuy nhiên, đưa ra một định nghĩa đàng hoàng về $\mathbb N$ là một điều khó khăn. Ở đây, chúng ta sẽ xây dựng $\mathbb N$ dựa trên hệ tiên đề Peano, như sau đây.
Hệ tiên đề Peano cho tập số tự nhiên. Chúng ta thừa nhận sự tồn tại của tập hợp các số tự nhiên $\mathbb N$, mà trên đó xác định một quan hệ gọi là “liền sau”, thỏa mãn cả bốn tiên đề dưới đây. Read the rest of this entry »
Tags: Đồng Dư, Giải Tích, Nền Tảng, Nguyên Lý Cực Hạn, Nguyên Lý Quy Nạp, Số Học, Thuật Toán Chia
Phản Hồi