Giải Tích

You are currently browsing the archive for the Giải Tích category.

Chúng ta bàn đến việc phá các căn ở dạng $\sqrt{x^2+k}$, với $k$ là một hằng số. Trước tiên là một hoàn cảnh như sau.

Bài toán 1. Tính tích phân $I=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.
Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Đưa ra bài toán sau, như một ví dụ về tư tưởng Counting In Two Ways ngay trong một bài toán không rời rạc.

Bài toán. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện$$x^{2019}-x f(x)-f(x)^{2019}=1, \quad \forall x \in[0 ; 1].$$Tính tích phân $I=\int_{0}^{1}(x+f(x))^{2} \mathrm{d} x$. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Bài toán. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $s_n$ là số cặp số nguyên $(x,\,y)$ thỏa mãn \[x^2+y^2\le n^2.\]Ở đây, nếu $a\ne b$ thì hai cặp $(a,\,b)$ và $(b,\,a)$ gọi là khác nhau, tính $\lim\dfrac{\sqrt{s_n}}{n}$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Cho đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$.

  1.  Với $\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
  2.  Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để viết được $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Cho hàm số $f:\;\mathbb R\to\mathbb R^+$ liên tục và thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0.\]

  1. Chứng minh rằng tồn tại giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.
  2. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left(x_n\right)$ cùng hội tụ đến chung một giới hạn, $x_n<y_n$ với mọi số nguyên dương $n$ và\[ f\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{y_n}} \right),\quad \;\;\;\forall {\mkern 1mu} n\in\mathbb N^*.\]

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán Dãy số nguyên $\left( {{x_n}} \right)$, thỏa $0\le x_0<x_1\le 100$ và\[{x_{n + 2}} = 7{x_{n+1}} – {x_n} + 280,\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]

  1. Với $x_0=2,\,x_1=3$, chứng minh rằng tổng các ước số dương của $x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+2018$ là bội số của $24$.
  2. Tìm các cặp $\left(x_0,\,x_1\right)$ sao cho $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$.

Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Bài toán về đa thức sau đây, có thể sử dụng một skill kinh điển của Số Học, đó là Vieta jumping

Bài toán. Tìm các cặp đa thức có hệ số phức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P^2(x)+1$ chia hết cho $Q(x)$ và $Q^2(x)+1$ chia hết cho $P(x)$. Read the rest of this entry »

Bài toán. Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb R^+\to\mathbb R$ thỏa mãn \[f\left( x \right) – f\left( y \right) = \left( {x – y} \right)f’\left( {\sqrt {xy} } \right),\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb R^+.\] Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.

P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Đây là bài toán 29 trong mã đề 123 mà bộ Dục ra cho học sinh, trong kỳ thi THPT năm 2018. Bài toán này thoạt nhìn chả có gì ghê gớm, bản chất vốn chỉ là một bài tính tích phân đơn giản với nội dung như sau.

Bài toán.  Cho $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỷ thỏa mãn\[\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11.} \]Mệnh đề nào dưới đây đúng?\[A.\;a+b=-3c,\qquad B.\;a-b=-c,\qquad C.\;a+b=c,\qquad D.\;a+b=3c.\]

Để giải bài toán này, mẹo mực bấm máy thì mình không quan tâm. Nếu phải tính cái tích phân kia, thì mình làm như thế này. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

« Older entries