Đại Số

You are currently browsing the archive for the Đại Số category.

Bài toán về đa thức sau đây, có thể sử dụng một skill kinh điển của Số Học, đó là Vieta jumping

Bài toán. Tìm các cặp đa thức có hệ số phức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P^2(x)+1$ chia hết cho $Q(x)$ và $Q^2(x)+1$ chia hết cho $P(x)$. Read the rest of this entry »

Bài toán. Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb R^+\to\mathbb R$ thỏa mãn \[f\left( x \right) – f\left( y \right) = \left( {x – y} \right)f’\left( {\sqrt {xy} } \right),\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb R^+.\] Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.

P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Bài 1:   Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\le \dfrac{3}{4}.$$

Bài giải

Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có
$$ \dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z} \right),$$
hay
$$\dfrac{x}{2x+y+z}\le \dfrac{x}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right).$$
Tương tự như trên thì Read the rest of this entry »

 Đẳng thức 1. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}=3,$$
hay
$$x\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)+y\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+x} \right)+z\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y} \right)=3.$$
Đẳng thức 2. Với $x,y,z,k$  sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{x+ky}{x+ky}+\dfrac{y+kz}{y+kz}+\dfrac{z+kx}{z+kx}=3,$$ Read the rest of this entry »

 Các hằng đẳng thức thường gặp: 

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$
$$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$$
$$(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$$ Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Bài giảng này viết về khái niệm tập hợp, một khái niệm nền móng và cơ bản của Toán Học hiện đại. Khái niệm tập hợp giữ vai trò đặc biệt quan trọng trong Toán Học, không chỉ vì cho đến nay, lý thuyết Tập Hợp đã trở thành một nhánh rộng rãi và phong phú, mà còn vì từ sự xuất hiện từ chừng hai thế kỷ trước, lý thuyết Tập Hợp đã và vẫn đang có những ảnh hưởng sâu sắc đến toàn bộ Toán Học. Ở phạm vi bài viết này, tôi chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản thuần túy, cùng các phép toán trên tập cơ bản nhất như giao, hợp, hiệu các tập. Một mục đích nữa của bài giảng, là cung cấp nền tảng khởi đầu cho môn Tổ Hợp. Vì thế, nên trong bài giảng có bàn đến các quy tắc xác định lực lượng tập hợp như nguyên lý cộng, bù trừ và nguyên lý nhân. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Cuộc sống, được chúng ta nhận thức qua sự hiện hữu và vận động của các thành tố trong nó. Khi tồn tại để vận động và phát triển, các đối tượng tương tác với nhau theo những quy luật được xác định, để rồi có những ảnh hưởng đến giá trị về lượng và chất tương ứng. Chính sự tương tác ảnh hưởng qua lại giữa các đối tượng của cuộc sống, giúp chúng ta nhận thức được bản chất các đối tượng đó theo nhiều góc nhìn. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , , , , , ,

Bài 1. Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} – \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]link: http://mathscope.org/showthread.php?t=51561

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , , , ,

 

 Với các hàm số một biến số, chắc không cần xúi bẩy, bạn đọc cũng hiểu là kỹ năng chủ đạo để xử lý đó là tuân thủ nghiêm cẩn các khâu bước của quá trình khảo sát hàm. Tuy nhiên ở dưới đây, trong nhiều bài toán, tôi giấu nhẹm đi con dao đạo hàm. Việc tôi làm, thật ra chả có gì huyền bí, cao siêu cả. Đơn giản là, nếu muốn chứng minh $f\left( x \right)\ge 0$, hoặc là đi tìm cực trị một hàm $f\left( x \right)$. Thì ở trên giấy nháp, bằng cách này hay cách khác (có thể dùng đạo hàm), nếu tôi bắt được nới xảy đến dấu bằng (hoặc nơi đạt cực trị). Tôi chỉ việc kiểm soát cái gia số, qua việc viết $f\left( x \right)=f\left( c \right)+{{\Delta }_{f\left( x \right)}}$, với $c$ là điểm đã dự đoán. Công việc còn lại, đó là  xét dấu của ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}=f\left( x \right)-f\left( c \right)$theo yêu cầu của đề toán. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

« Older entries