Đại Số

You are currently browsing the archive for the Đại Số category.

Thông thường khi xét đa thức f $\in \mathbb{R}[x]$, f phân tích duy nhất được thành các đa thức bất khả quy. Câu hỏi được đặt ra khi ta thấy thế $\mathbb{R}$ bởi một trường, vành,… bất kì thì tính chất trên liệu có còn đúng? Xây dựng lí thuyết để trả lời câu hỏi này, ta sẽ nhận được những ứng dụng rất thú vị.
1. Mở đầu:
Bài viết này nghiên cứu đa thức trên cấu trúc tổng quát của $\mathbb{R}$, đó là TRƯỜNG và rộng hơn là VÀNH:
Định nghĩa 1: Tập hợp $K$ được trang bị 2 phép toán + và . thỏa mãn:
♥ $(K,+)$ là nhóm abel
♥ $K$ đóng với phép nhân
♥ Hai phép toán kết hợp, nghĩa là $\forall a,b,c \in K$ thì $a(b+c)=ab+ac$ và $(b+c)a=ba+ca$
Khi đó $K$ gọi là vành.
Thông thường ta kí hiệu 0 là đơn vị của phép “+” và 1 là đơn vị của phép “.” (nếu có)
Khi phép $.$ có đơn vị ta gọi $K$ là vành có đơn vị, khi phép $.$ giao hoán ta gọi $K$ là vành giao hoán. Đặc biệt, khi $(K$\ $\{0\},.)$ là nhóm abel thì $K$ gọi là trường. Read the rest of this entry »

“How to Solve It”  là tên một cuốn sách nổi tiếng của G.Pólya, một nhà sư phạm Toán Học nổi tiếng. Tôi mạo phép mượn nó làm tiêu đề cho chuỗi bài viết này, một chuỗi bài tôi muốn viết từ lâu. Nguyên nhân khoan hoãn và trù trừ cho dự định viết chuỗi bài này, vì tôi cảm thấy tự ti bởi năng lực bản thân, sợ viết ra rồi bị đánh giá là lên gân etc vv.. Tuy nhiên, do bản chất công việc phải làm hằng ngày, nên tôi lại hiểu rõ trách nhiệm mình cần làm. Thôi thì cứ viết lại những gì mình cảm nhận, hy vọng nó có ích với một số đối tượng nhất định. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Tập số thực có sự sắp tự hoàn chỉnh, nếu lấy mỗi số thực $r$ ra và đem so sánh với số $0$, thì có đúng ba trạng thái hệt như giới tính con người, đó là

  1. Không có dấu (buê-đê) nếu $r=0$.
  2. Dấu dương (man-lì) nếu $r>0$.
  3. Dấu âm (đàn bà) nếu $r<0$.

Với một đại lượng biến thiên $E$, khi đó có thể là $E$ bất biến dấu, không đổi dấu hoặc đổi dấu lung tung.. Nếu chúng ta lấy ra hai biểu thức chứa biến $x,\,y,\,..$ là $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$, ta sẽ nói $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên miền $D$ nếu cứ với mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì trạng thái dấu của $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ là như nhau. Cụ thể là, tại mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ hoặc cùng bằng $0$ hoặc cùng dương, hoặc cùng âm. Ở phạm vi vài viết này, nếu $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên $D$, tôi sẽ sử dụng ký hiệu\[A\mathop \sim\limits_D A’.\] Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Có bạn hỏi mình bài toán này lúc đang đi chơi, nhìn cực kỳ rối ren, như sau

Bài toán. Tìm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ giảm ngặt và thỏa mãn\[f(x + y) + f\left( {f(x) + f(y)} \right) = f\left( {f(x + f(y)) + f(y + f(x))} \right),\forall x,{\mkern 1mu} y \in\mathbb R. \] Read the rest of this entry »

Tags: ,

Ở IMO 2006, có bài đa thức như này

Bài toán N4 IMO 2006.  Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên có bậc $n$ với $n>1$, với mỗi số nguyên dương $k$ ta ký hiệu $
P_k(x)=\underbrace{P(P(\ldots(P(x) \ldots))}_{k\; \text{lần}\;P}
$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$, luôn có không quá $n$ nghiệm nguyên phân biệt của phương trình $P_k(x)=x$.

Hôm nay, đem dạy bài này cho một đội để thị phạm cách chui vào bụi rậm rồi chui ra.. Cuối cùng xuất được cái lời giải sau 😀 Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức hệ số thực, chúng ta quan tâm đến vấn đề là khi nào hàm số $h:\,\mathbb R\to\mathbb R$ với quy tắc tương ứng $h(x)=f(g(x))$ sẽ là một hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Rõ ràng, khi $f(x)$ hoặc $g(x)$ là hàm hằng thì $h(x)$ cũng là hàm hằng, do đó ta chỉ quan tâm đền tình huống $\deg f,\,\deg g>0$.

Do $\deg h=\deg f.\deg g$, và nếu $\deg h$ là một số nguyên dương chẵn thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right) = + \infty .\]Từ đây thấy rõ ràng là khi một trong hai đa thức $f(x)$ hoặc $g(x)$ có bậc chẵn, thì $h(x)$ không thể là hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Cũng để ý rằng, nếu $f(g(x))$ là nghịch biến, thì $-f(g(x))$ là hàm đồng biến, thêm nữa là nếu $f(g(x))$ là hàm đồng biến thì sau việc lấy giới hạn ra vô cực, ta thấy là hệ số ứng với bậc cao nhất của nó phải cùng dấu, mà hệ số này lại cùng dấu với tích của hai hệ số ứng với bậc cao nhất của $f(x)$ và $g(x)$ (do $\deg f,\,\deg g$ đều lẻ). Vì lẽ đó, ta chỉ cần quan tâm đến câu hỏi sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Chúng ta bàn đến việc phá các căn ở dạng $\sqrt{x^2+k}$, với $k$ là một hằng số. Trước tiên là một hoàn cảnh như sau.

Bài toán 1. Tính tích phân $I=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.
Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $$M=|17\cos x+19\sin x|+|11\cos x+23\sin x|.$$

Lời giải. Xét các số phức $$z=\cos x+i\sin x,\quad \alpha =11-23i,\quad \beta=17-19i.$$Đặt $e=\frac{\beta}{\alpha}$, ta có $|e|=1$ và có các biến đổi-đánh giá sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Cho đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$.

  1.  Với $\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
  2.  Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để viết được $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán về đa thức sau đây, có thể sử dụng một skill kinh điển của Số Học, đó là Vieta jumping

Bài toán. Tìm các cặp đa thức có hệ số phức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P^2(x)+1$ chia hết cho $Q(x)$ và $Q^2(x)+1$ chia hết cho $P(x)$. Read the rest of this entry »

« Older entries