Cặp số tốt

01/01/2019 in Số Học by Mr 2M | No comments

Bài toán.  Một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ gọi là “cặp số tốt” nếu như $a$ và $b$ có cùng tập ước nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại vô số các “cặp số tốt” $(m,\,n)$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho $(m+1,\,n+1)$ cũng là “cặp số tốt”.

Lời giải. Với số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$ bất kỳ, ta chọn $m=2^{k+1}\left(2^{k-1}-1\right)$ và $n=2\left(2^{k-1}-1\right)$. Khi đó rõ ràng $(m,\,n)$ là một cặp số tốt. Đồng thời ta lại có\[\left( {m + 1,\,n + 1} \right) = \left( {{{\left( {{2^k} – 1} \right)}^2},\,{2^k} – 1} \right).\]Cho nên ta có điều phải chứng minh.

 

 

 

 

 

 

Tags:

Reply