Các khái niệm cơ bản về tập hợp

Bài giảng này viết về khái niệm tập hợp, một khái niệm nền móng và cơ bản của Toán Học hiện đại. Khái niệm tập hợp giữ vai trò đặc biệt quan trọng trong Toán Học, không chỉ vì cho đến nay, lý thuyết Tập Hợp đã trở thành một nhánh rộng rãi và phong phú, mà còn vì từ sự xuất hiện từ chừng hai thế kỷ trước, lý thuyết Tập Hợp đã và vẫn đang có những ảnh hưởng sâu sắc đến toàn bộ Toán Học. Ở phạm vi bài viết này, tôi chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản thuần túy, cùng các phép toán trên tập cơ bản nhất như giao, hợp, hiệu các tập. Một mục đích nữa của bài giảng, là cung cấp nền tảng khởi đầu cho môn Tổ Hợp. Vì thế, nên trong bài giảng có bàn đến các quy tắc xác định lực lượng tập hợp như nguyên lý cộng, bù trừ và nguyên lý nhân.

1. Khái niệm về tập hợp

Trong Toán Học, khái niệm về Tập Hợp được coi là khái niệm khởi đầu, không có định nghĩa và chỉ có thể nhận thức một tập hợp bằng trực giác qua những ví dụ nơi đời sống thường nhật quanh ta. Trong khoa học nói chung và Toán Học nói riêng. Ở một nhận thức nào đó, thì một Tập Hợp được hình thành từ sự gom kết các đối tượng riêng lẻ (mà ta sẽ gọi là phần tử của tập hợp đó). Với một tập hợp (có thể gọi tắt là tập) $S$ thì nếu $e$ là một phần tử của nó ta nói “$e$ thuộc $S$”, và để diễn tả việc “$e$ thuộc $S$” ta sẽ sử dụng ký hiệu $e\in S$. Trong trường hợp ngược lại, tức $e$ không phải là một phần tử nằm trong $S$ ta nói “$e$ không thuộc $S$” và viết $e\notin S$.

Có thể lấy rất nhiều ví dụ về các tập hợp ở xung quanh đời sống của mỗi chúng ta như tập hợp các thành viên trong gia đình mỗi người, tập hợp các học sinh trong một trường học, tập các dụng cụ học tập cá nhân hay tập các chữ số viết theo hệ thập phân..

Có hai cách cơ bản nhất để mô tả một tập hợp. Cách ngây thơ nhất, đó là liệt kê danh sách các phần tử của nó đặt giữa các ngoặc “$\{…\}$”. Ví dụ, tập hợp $L$ bao gồm các chữ cái tạo nên từ “ARCHIMEDES” là\[\{\text{A, R, C, H, I, M, E, D, S}\}.\]
Như vậy, ta có thể viết $A\in L$ hoặc $S\in L$ và vì trong từ “ARCHIMEDES” ta không có chữ cái $T$ cho nên $T\notin L$.

Tuy nhiên, không phải mọi tập hợp đều cần (và có thể) liệt kê rành mạch các phần tử của nó. Lúc ấy các tập hợp cũng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng, mà nhờ tính chất đặc trưng đó ta có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không. Nếu $S$ là một tập hợp mà các phần tử của nó có thể xác định thông qua tính chất đặc trưng $\mathcal P$, khi đó ta có thể mô tả $S$ dưới dạng\[S=\{e:\;e\;\text{thoả tính chất}\;\mathcal P\}.\]
Ở trường hợp có một tập $X$ cho trước, để diễn tả $S$ là tập các phần tử của $X$ thoả tính chất $\mathcal P$ ta sẽ viết
\[S=\{e\in X:\;e\;\text{có tính chất}\;\mathcal P\}.\]
Trong nhiều hoàn cảnh, nhất là để mô tả các quan hệ và phép toán tập hợp sau này. Người ta sử dụng biểu đồ Venn để biểu diễn trực quan cho tập. Mỗi tập, sẽ được biểu thị bằng một vòng tròn khép kín. Ở hình vẽ ngay dưới đây, hai tập $A$ và $B$ được biểu diễn bởi đồ Venn.

2. Một số khái niệm khác

  •  Một tập hợp mà không có phần tử nào thuộc vào nó, ta gọi là tập rỗng, ký hiệu là $\emptyset$.
  • Với hai tập hợp $A,\,B$, nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$. Ta nói, $A$ là tập con của $B$ và viết $A\subset B.$ Ta biểu thị quan hệ tập con nói trên nhờ biểu đồ Venn như sau: Ở khái niệm này, nếu $A\ne\emptyset$ và trong $B$ có một phần tử $b$ thỏa $b\notin A$, thì chúng ta gọi tập $A$ là tập con thực sự của tập $B$.
  • Nếu tập hợp $S$ khác $\emptyset$, và khi lấy ra bất kỳ một tập con thực sự $S’$ của $S$ ta luôn có một tập con thực sự $\mathfrak S$ của $S$ sao cho $S’$ là tập con thực sự của $\mathfrak S$, khi đó $S$ được gọi là tập vô hạn. Một tập hợp không là tập vô hạn, sẽ được chúng ta gọi là tập hữu hạn.
  • Nếu hai tập $A,\,B$ có chung các phần tử, ta nói $A$ và $B$ là hai tập bằng nhau, và khi đó ta viết $A=B$. Chúng ta thấy rõ ràng rằng, $A=B$ khi và chỉ khi đồng thời có $A\subset B$ và $B\subset A$.
  • Với $S$ là một tập hợp, trong bài giảng này tôi ký hiệu $\mathcal{F}(S)$ là tập hợp chứa tất cả các tập con của $S$ tức là
    \[\mathcal{F}(S)=\left\{s:\;s\subset S\right\}.\]
    Chúng ta để ý là ta luôn có các bao hàm thức $\emptyset\subset \mathcal{F}(S)$ và $S\subset \mathcal{F}(S)$.

Một ví dụ về $\mathcal F(S)$ là với $S=\{1;\,2\}$ thì
\[\mathcal{F}(S)=\left\{\emptyset,\,\{1\},\,\{2\},\,\{1,\,2\}\right\}.\]

Tags: , , , , , , ,

Reply