Bổ Đề Tiếp Tuyến trong Đồng Dư

19/05/2018 in Số Học by 2H | 1 comment

Bổ đề sau tuy đơn giản, nhưng có ý nghĩa lớn trong việc nâng bậc đồng dư. Nó là mấu chốt cho việc chứng minh hệ thống bổ đề LTE.

Bổ Đề. Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $p$ là số nguyên tố và $x \equiv a\pmod p$, khi đó
\[P(x) \equiv P(a) + (x – a)P'(a)\pmod{p^2}.\]

Chứng minh. Do tính đóng của các phép toán số học với quan hệ đồng dư, nên thực chất bổ đề này chỉ cần chứng minh với trường hợp $P(x)=x^n$. Lúc đó, chỉ cần viết ra hằng đẳng thức sau là thấy ngay\[{x^n} = {a^n} + \left( {x – a} \right)n{a^{n – 1}} + \left( {x – a} \right)\sum\limits_{1 \le k \le n – 1} {\left( {{x^k} – {a^k}} \right)a^{n-k-1}} .\]

$\square$

Dùng bổ đề này, bạn có thể xử lý được bài toán khó sau bài toán về số chính phương .

Tags: , , , ,

Reply