Tình cờ đọc trên facebook thấy có một bạn hỏi một bài toán Giải Tích cơ bản có liên quan đến hàm lồi, như sau đây

Bài toán. Cho $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ là một hàm lồi không giảm. Chứng minh rằng, tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và kết quả giới hạn đó là một số thực không âm.

Để xử lý bài toán vừa được nêu, trước tiên cần chú ý đến bất đẳng thức cát tuyến nêu ở bài viết http://maths.vn/tinh-lien-tuc-cua-ham-loi/.

Bổ đề (bất đẳng thức cát tuyến). Cho $\mathbb I$ là một khoảng mở của đường thẳng thực và hàm số $f:\,\mathbb I\to\mathbb R$ lồi trên $\mathbb I$, khi đó với $[a;\,b]\subset\mathbb I$ cho trước thì ta đều có bất đẳng thức sau với mỗi $x\in [a;\,b]$ \[f(x)\le f(a)+(x-a)\frac{f(a)-f(b)}{a-b}.\]Ta cũng dùng lại kỹ thuật căn bản ở bài đó nơi đây, tức là xét hàm số không giảm là $K_0:\, \left(-\infty;\,0\right)\to\mathbb R$ với quy tắc cho tương ứng\[{K_0}\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x}}.\]Do $f$ là hàm không giảm trên $\mathbb R$, cho nên $K_0(x)\ge 0$ với mọi $x<0$, như vậy thì tập hợp khác rỗng sau đây sẽ là một tập bị chặn dưới bởi $0$\[{K_0}\left( {\left( { – \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right)} \right) = \left\{ {{K_0}\left( x \right):\;x \in \left( { – \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right)} \right\}.\]Gọi $L=\inf {K_0}\left( {\left( { – \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right)} \right) $, lúc đó thì với mỗi số thực dương $\epsilon$ bất kỳ, theo bản chất của cận dưới đúng thì sẽ tồn tại số thực âm $x_{\epsilon}$ sao cho\[L +\epsilon> {K_0}\left( {{x_{\epsilon}}} \right) \ge L.\]Bây giờ với $x<x_{\epsilon}$, thì do tính không giảm của $K_0$ trên ${\left( { – \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right)}$ ta có \[L +\epsilon> {K_0}\left( {{x_{\epsilon}}} \right)\ge {K_0}\left( {{x}} \right) \ge L.\]Như vậy là, cứ với mỗi số thực dương $\epsilon$ lại sẽ phải tồn tại số thực $x_{\epsilon}$ sao cho với mọi $x<x_{\epsilon}$ thì \[\left| {{K_0}\left( x \right) – L} \right| < \epsilon .\]Điều đó đồng nghĩa với  $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {K_0}\left( x \right)=L$, và do ${K_0}\left( {\left( { – \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right)} \right)$ bị chặn dưới bởi $0$ cho nên $L\ge 0$ và ta có lời giải cho bài toán đã nêu.

$\square$

Nhận xét. Bài toán hoàn toàn có thể được xử lý bằng cách dùng tính không giảm của $K_0$, sau đó gọi một dãy $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {s_n} = – \infty $ và chứng tỏ sự hội tụ của dãy $K_0\left(s_n\right)$ dựa trên nguyên lý Weierstrass.