Bài toán về dãy số nguyên

Bài toán. Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}_{n\in\mathbb N^*}$, thỏa mãn $a_1=a$ và\[a_{n+1}=a_n^2+1,\quad\forall\,n\in\mathbb N^*.\]Chứng minh rằng không tồn tại $n\in\mathbb N^*$ sao cho $\prod\limits_{1 \le k \le n} {\left( {a_k^2 + {a_k} + 1} \right)} $ là một số chính phương.

Lời giải. Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $a_1^2+a_1+1$, ta có $p$ lẻ và $p\nmid a_1$, đồng thời dễ dàng truy toán để có\[{a_n} \equiv {a_2} \equiv – {a_1}\quad \left( {\bmod p} \right),\quad \forall {\mkern 1mu} n > 1.\]Từ đó để thấy là với $n>1$ có $p\nmid \left(a_n^2+a_n+1\right)$, do\[a_n^2 + {a_n} + 1 \equiv a_1^2 – {a_1} + 1 \equiv – 2{a_1}\quad \left( {\bmod p} \right),\quad \forall {\mkern 1mu} n > 1.\]Như vậy là ta có\[{v_p}\left( {\prod\limits_{1 \le k \le n} {\left( {a_k^2 + {a_k} + 1} \right)} } \right) = {v_p}\left( {a_1^2 + {a_1} + 1} \right).\]Lại thấy là $a^2<a_1^2+a_1+1<(a+1)^2$, cho nên $a_1^2+a_1+1$ không phải là số chính phương, và do đó sẽ tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho ${v_p}\left( {a_1^2 + {a_1} + 1}\right) $ là lẻ, từ đây có điều cần chứng minh.

 

 

 

 

 

 

Tags: ,

Reply