Cho hàm số $f:\;\mathbb R\to\mathbb R^+$ liên tục và thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0.\]

1. Chứng minh rằng tồn tại giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.
2. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left(x_n\right)$ cùng hội tụ đến chung một giới hạn, $x_n<y_n$ với mọi số nguyên dương $n$ và\[ f\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{y_n}} \right),\quad \;\;\;\forall {\mkern 1mu} n\in\mathbb N^*.\]

Lời giải.  Do $f(0)>0$ và giả thiết về giới hạn ở hai đầu vô cực, nên tồn tại $m>0$ sao cho $f(x)\le f(0)$ với mỗi $x$ không ở trong đoạn $D=[-m, \,m]$. Vì hàm liên tục nên trên đoạn đóng $D$, nên hàm đạt gía trị lớn nhất là $M^*$ nào đó.

• Nếu $M^*\ge f(0)$, thì $M^*\ge f(x)$ với mọi $x$, và có $M^*$ là giá trị lớn nhất trên $\mathbb R$ của $f(x)$.
• Nếu $M^*<f(0)$, thì $f(0)$ là gía trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.

Tóm lại là luôn tồn tại giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$ là $M$, bây giờ giả sử $M=f(a)$, ta xét hai trường hợp

• Nếu có vô hạn nghiệm của phương trình $f(x)=M$ trên $\mathbb R$. Khi đó giả sử $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$ một dãy là dãy tăng ngặt (hoặc giảm ngặt) các nghiệm, vì giả thiết ở vô cực nên dãy $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$ bị chặn. Từ đó dãy $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$  hội tụ đến $l$ nào đó. Đặt dãy $y_n=\max\left\{x_{n+1},\,x_{n-1}\right\},\;\forall\,n\in\mathbb N^*$, để thấy tình huống này rõ ràng thỏa mãn.
• Nếu chỉ có hữu hạn nghiệm của phương trình $f(x)=M$ trên $\mathbb R$, thế thì rõ ràng tồn tại một số $d>0$ sao cho $f(x)<M,\;\forall x\in D\setminus\{a\}$ với $D=[a-d,\,a+d]$. Ta giả sử $$\max\{f(a-d),\,f(a+d)\}=M_0.$$Đặt $g(x)=f(x)-\frac{M_0+M}{2}$, để ý là $M_0<M$ ta có\[g\left( {a \pm d} \right) \le {M_0} – \frac{{{M_0} + M}}{2} < 0 < \frac{{M – {M_0}}}{2} = g\left( a \right).\] Vậy, theo định lý Bolzano-Cauchy hẳn phải tồn tại $x_1\in D^{-}$ và $y_1\in D^{+}$ sao cho $g\left( {{x_1}} \right) =g\left( {{y_1}} \right) = 0$, tức là\[f\left( {{x_1}} \right) =f\left( {{y_1}} \right) = \frac{{{M_0} + M}}{2}.\]Bây giờ giả sử với $n\in\mathbb N^*$, đã tồn tại $\left(x_n,\,y_n\right)\in D^{-}\times D^{+}$ sao cho \[f\left( {{x_n}} \right) =f\left( {{y_n}} \right) = \frac{{{M_0} + nM}}{{n + 1}}.\] Xét hàm số\[{g_n}\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{{\left( {n + 1} \right)M + {M_0}}}{{n + 2}}.\]Ta có ngay các đánh giá\[{g_n}\left( {{x_n}} \right) ={g_n}\left( {{y_n}} \right) = \frac{{{M_0} – M}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0 < g\left( a \right) = \frac{{M – {M_0}}}{{n + 2}}.\]
  Vậy nên theo định lý Bolzano-Cauchy, sẽ phải tồn tại ${x_{n+1}} \in \left( {{x_n},{\mkern 1mu} a} \right)$ và $y_{n+1}\in \left(a,\,y_n\right)$ sao cho ${g_n}\left( {{x_{n + 1}}} \right)={g_n}\left( {{y_{n + 1}}} \right) = 0$, tức là \[f\left( {{x_{n + 1}}} \right) ={f}\left( {{y_{n + 1}}} \right)= \frac{{{M_0} + \left( {n + 1} \right)M}}{{n + 2}}.\]
  Từ đây, qua việc truy toán ta thấy tồn tại dãy $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$ tăng ngặt trong $D^{-}$ và dãy $\left\{y_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$ giảm ngặt trong $D^{+}$ sao cho \[f\left( {{x_n}} \right)=f\left( {{y_n}} \right) = \frac{{{M_0} + nM}}{{n + 1}}.\]
  Để ý là dãy $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$ sẽ hội tụ về $a^*\in D$ nào đó, ta lại có\[f\left( {{a^*}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = M=f(a).\]Từ đó $a^*=a$ và tương tự với giới hạn của dãy $\left\{y_n\right\}_{n\in\mathbb N^*}$. Vậy, nhận xét được chứng minh trong tình huống này.

Từ hai tình huống vét cạn nêu trên, ta có điều cần chứng minh.