Bài giải tích VMO 2019

Cho hàm số $f:\;\mathbb R\to\mathbb R^+$ liên tục và thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0.\]

  1. Chứng minh rằng tồn tại giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.
  2. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left(x_n\right)$ cùng hội tụ đến chung một giới hạn, $x_n<y_n$ với mọi số nguyên dương $n$ và\[ f\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{y_n}} \right),\quad \;\;\;\forall {\mkern 1mu} n\in\mathbb N^*.\]

Lời giải.  Do $f(0)>0$ và giả thiết về giới hạn ở hai đầu vô cực, nên tồn tại $m>0$ sao cho $f(x)\le f(0)$ với mỗi $x$ không ở trong đoạn $D=[-m, \,m]$. Vì hàm liên tục nên trên đoạn đóng $D$, nên hàm đạt gía trị lớn nhất là $M$ nào đó.

  • Nếu $M\ge f(0)$, thì $M\ge f(x)$ với mọi $x$, và có $M$ là giá trị lớn nhất trên $\mathbb R$ của $f(x)$.
  • Nếu $M<f(0)$, thì $f(0)$ là gía trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.

Bây giờ, giả sử $M=f(a)$, để ý là theo định lý Bolzano-Cauchy thì với mỗi số nguyên dương $n$ sẽ tồn tại $x_n\in (-\infty;\,a)$ và $y_n\in (a,\,+\infty)$ sao cho\[f\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{y_n}} \right) = M\left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right).\]Ta có thể xây dựng $\left(x_n\right)$ tăng, còn $\left(y_n\right)$ giảm và cùng tụ về $a$.

 

 

Tags: , ,

Reply