Bài dãy số VMO 2018 (P1)

Bài toán dưới đây là bài 1 trong đề VMO 2018, nói chung là một bài cho điểm.

Bài toán. Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} – \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Dưới đây là lời giải của tôi.

Lời giải. 

  1. Ta có
    \[\left| {{x_{n + 1}} – 1} \right| = \left| {{x_n} – 1} \right|\left( {\frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} – \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right) < \frac{{\left| {{x_n} – 1} \right|}}{2}.\]
    Từ đây thấy dãy là dãy co, nên hội tụ về $1$.
  2. Xét hàm $f\left( x \right) = \sqrt {x + 8} – \sqrt {x + 3}$ trên $\mathbb R^+$, nó là hàm lồi và do vậy theo bất đẳng thức tiếp tuyến có
    \[{x_{n + 1}} \ge f\left( 1 \right) + \left( {{x_n} – 1} \right)f’\left( 1 \right) = 1 – \frac{{{x_n} – 1}}{{12}}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Lấy tổng lại ta được
    \[{x_2} + {x_3} + \ldots + {x_{n + 1}} \ge n – \frac{1}{{12}}\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}}-n \right).\]
    Từ đó ta sẽ có
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} -n\ge \frac{{12}}{{13}}\left( {{x_1} – {x_{n+1}}} \right) = \frac{{12}}{{13}}\left( {2 – {x_{n+1}}} \right);\;(1).\]
    Từ ý trên ta có
    \[\left| {{x_{n + 1}} – 1} \right| \le \frac{1}{{{2^n}}}\left| {{x_1} – 1} \right| = \frac{1}{{{2^n}}}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Cho nên $x_{n+1}<1+\dfrac{1}{2^n}<2$, và từ $(1)$ ta có
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \ge n\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Lại bởi vì
    \[{x_{n + 1}} – 1 = – \left( {{x_n} – 1} \right)\left( {\frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} – \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right).\]
    Nên dễ dàng có được $x_{2k}\le 1\le x_{2k-1}\;\forall\,k\in\mathbb Z^+$ và
    \[{x_{2n}} + {x_{2n + 1}} – 2 = \left( {{x_{2n}} – 1} \right)\left( {1 – \frac{1}{{2 + \sqrt {{x_n} + 3} }} + \frac{1}{{3 + \sqrt {{x_n} + 8} }}} \right) < 0\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Từ đó ta sẽ thấy
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 1}} = 2 + \left( {{x_2} + {x_3}} \right) + \ldots + \left( {{x_{2n}} + {x_{2n + 1}}} \right) \le 2n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Và do $x_{2n+2}\le 1\;\forall\,n\in\mathbb Z^+ $ nên
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 2}} = \left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{2n + 1}}} \right) + {x_{2n + 2}} \le 2n + 2 + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
    Bởi vậy cho nên ta có
    \[{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]

 

Tags: , , , ,

Reply