Bài đa thức ở IMO 2006

Ở IMO 2006, có bài đa thức như này

Bài toán N4 IMO 2006.  Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên có bậc $n$ với $n>1$, với mỗi số nguyên dương $k$ ta ký hiệu $
P_k(x)=\underbrace{P(P(\ldots(P(x) \ldots))}_{k\; \text{lần}\;P}
$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$, luôn có không quá $n$ nghiệm nguyên phân biệt của phương trình $P_k(x)=x$.

Hôm nay, đem dạy bài này cho một đội để thị phạm cách chui vào bụi rậm rồi chui ra.. Cuối cùng xuất được cái lời giải sau 😀

Lời giải của bạn 2M. Giả sử phương trình $P_k(x)=x$ có $m$ nghiệm nguyên và $m>n$, khi đó thì $m\ge 3$. Nếu ta lấy ra bất kỳ ba nghiệm $a,\,b,\,c$ phân biệt trong $m$ nghiệm nguyên đó, khi ấy xét ba điểm thuộc đồ thị của hàm $y=P(x)$ là \[A\left( {a,\,P\left( a \right)} \right),\;\;\,B\left( {b,\,P\left( b \right)} \right),\;\;\,C\left( {c,\,P\left( c \right)} \right).\]Do $a\ne b$ và $k>1$, từ $a=P_k(a)$ và $b=P_k(b)$ ta có $P(a)\ne P(b)$ đồng thời từ tính chất cơ bản của đa thức hệ số nguyên (để ý $P_{k-1}(x)\in\mathbb Z[x]$), ta có được\[a – b \equiv {P_{k – 1}}\left( {P\left( a \right)} \right) – {P_{k – 1}}\left( {P\left( b \right)} \right) \equiv \,0\,\,\bmod \,\left( {P\left( a \right) – P\left( b \right)} \right).\]Và tất nhiên, vì $P(x)\in\mathbb Z[x]$ cho nên ta có được\[P\left( a \right) – P\left( b \right)\, \equiv 0\,\,\,\bmod \,\left( {a – b} \right).\]Từ đó, dẫn đến hệ số góc của đường thẳng $AB$ là\[{k_{AB}} = \frac{{P\left( a \right) – P\left( b \right)}}{{a – b}} \in \left\{ { – 1;\,1} \right\}.\]Tương tự, ta cũng có hệ số góc của các đường $BC,\,CA$ cũng thuộc $\{-1,\,1\}$. Nếu $A,\,B,\,C$ không thẳng hàng, ta có ngay $BC\bot AB$ và $CA\bot AB$ để có mâu thuẫn là $\Delta ABC$ có hai góc vuông.

Tóm lại $A\left( {a,\,P\left( a \right)} \right),\;B\left( {b,\,P\left( b \right)} \right),\;C\left( {c,\,P\left( c \right)} \right)$ sẽ thẳng hàng nếu $a,\,b,\,c$ là ba nghiệm nguyên phân biệt của phương trình $P_k(x)=x$. Từ đây ta thấy các điểm $M\left( {r,\,P\left( r \right)} \right)$ sẽ cùng nằm trên một đường thẳng nếu $r$ là nghiệm nguyên của phương trình $P_k(x)=x$ , nói khác đi các điểm đó là các giao điểm của đồ thị hàm số $y=P(x)$ với một đồ thị hàm bậc nhất dạng $y=\alpha x+\beta$, cho nên các nghiệm nguyên của phương trình $P_k(x)=x$ sẽ đều là nghiệm nguyên của phương trình $P(x)=\alpha x+\beta$. Nhưng đó lại là một phương trình đại số bậc $n$, nên sẽ có không quá $n$ nghiệm. Tức là có mâu thuẫn $m\le n$.

Mâu thuẫn nhận được cho ta điều cần chứng minh.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tags: , ,

Reply