Articles by Mr 2M

You are currently browsing Mr 2M’s articles.

Bài toán.  Một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ gọi là “cặp số tốt” nếu như $a$ và $b$ có cùng tập ước nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại vô số các “cặp số tốt” $(m,\,n)$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho $(m+1,\,n+1)$ cũng là “cặp số tốt”.

Lời giải. Với số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$ bất kỳ, ta chọn $m=2^{k+1}\left(2^{k-1}-1\right)$ và $n=2\left(2^{k-1}-1\right)$. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài viết này, có nội dung là một số bài toán tôi sử dụng để dạy các học sinh thi VMO năm học 2018-2019. Các bài toán này, một số được tôi sáng tác mới hoặc mở rộng và làm mạnh từ các bài đã cũ.

P1. Một số nguyên dương $a$ gọi “đẹp” nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Bài toán. Tìm $y\in\mathbb R$ thỏa$$y^3+4y^2+3y-1=0.$$

Lời giải. Đặt $y=\frac{x-4}{3}$, ta có \[\begin{align*}
{y^3} + 4{y^2} + 3y – 1 &= {\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^3} + 4{\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^2} + 3\left( { \frac{x-4}{3}} \right) – 1\\
&= \frac{1}{{27}}\left( {{x^3} – 21x – 7} \right). Read the rest of this entry »

Bài toán T3/493 trên THTT (tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ), có nội dung như sau.

Bài toán. Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[2^m=n^3-5n+10.\]

Bài toán này, có lời giải đăng trên báo THTT số 497. Tuy nhiên rất tiếc là lời giải bị sai bét, do mắc một sai lầm hết sức ngây thơ, đó là với $a,\,m$ là các số nguyên dương chẵn $b,\,n$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $ab=mn$ thì kéo theo $a=m$ và $b=n$.

Sau đây, là một lời giải đúng cho bài toán đó. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài toán sau, khá cũ trên tạp chí THTT, thời gian đầu nó còn bị giải sai.  Để giải nó, có thể dùng tính UFD của vành Eisenstein $\mathbb Z[\omega]$, nhưng ngoài ra còn có một lời giải rất sơ cấp.

Bài toán. Tìm các số nguyên $x$ và $y$ thỏa mãn$$x^3-54y^3=1.$$ Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài viết ngắn này, nói về phép chứng minh một tính chất rất đơn giản trong Số Học sơ cấp.

Định lý. Cho $a$ và $n$ là các số nguyên dương, khi đó nếu $\sqrt[n]{a}$ là một số hữu tỷ, thì sẽ tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho\[a=M^n.\] Read the rest of this entry »

Chúng ta vẫn hay nói: “$\mathbb Q$ là đếm được” , mà một tập đếm được ở đây tức là sắp được thành một dẫy số, cũng có nghĩa là chúng ta sẽ phải xác định được một song ánh $f:\,\mathbb Q\to\mathbb N$. Chứng minh sự tồn tại cái song ánh này rất đơn giản, nếu sử dụng định lý Cantor-Bernstein nhưng sẽ hay hơn nếu ta chỉ ra trực tiếp một quy tắc như thế. Sau đây là một cách làm. Read the rest of this entry »

Bài toán. Cho các số $p,\,q>0$ thỏa mãn $p+q=1$, tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime}(p x+q y), \quad \forall x \neq y.$$ Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Có bài toán độ ra bài trắc nghiệm liên quan đến bài phương trình hàm sau đây.

Bài toán. Tìm hàm số lẻ $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(x+1)=1+f(x)$ với mọi số thực $x$ và với mỗi số thực $x$ khác $0$ ta lại có\[f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\] Read the rest of this entry »

Tags:

 

Chúng ta quan tâm đến chứng minh cho khẳng định sau đây

Mệnh đề 1. Cho các số nguyên dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $\gcd (a,\,b)=1$ và $ab=c^2.$ Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương $u$ và $v$ sao cho $$a=u^2,\quad b=v^2.$$ Read the rest of this entry »

Tags: ,

Bài tính tích phân sau, sử dụng biến đổi vi phân cho vui :D.
Bài toán. Tính tích phân\[I=\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 + {x^2}} } {\rm{d}}x.\]Lời giải. Đặt $\sqrt{x^2+1}=t$ ta có $t^2=x^2+1$ nên có $xdx=tdt$ và Read the rest of this entry »

Tags: ,

Khái quát hóa, rồi lập công thức truy hồi cũng là một cách làm tốt với mấy bài tính tích phân, sau đây là một ví dụ.

Bài toán. Tính tích phân \[I=\int\limits_0^1 {{x^{10}}\sqrt {1 – x} \text{d}x} .\]   Read the rest of this entry »

« Older entries § Newer entries »