Có người đồng nghiệp nhờ tôi chứng minh giúp định lý sau đây
Định lý Con Nhím. Cho tứ diện $ABCD$, chứng minh rằng tổng các vector pháp tuyến diện tích của các mặt tứ diện hướng ra phía ngoài bằng vector 0.
Read the rest of this entry »You are currently browsing Mr 2M’s articles.
Tình cờ gặp bài toán sau, nên ngồi vã thử phát
Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố dạng $4k+3$, các số nguyên $a,\,b$ thỏa mãn $$\min\left\{v_p(a),\;v_p(b-1)\right\}=1.$$ Chứng minh rằng, $f(x)=x^{2p}+ax+b$ bất khả quy ở trên $\mathbb Z[x]$.
Với $\alpha$ là một số thực, ta biết rằng có công thức sau $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.$$ Vì vậy, nếu thiết lập dãy $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N}$ trong đó $s_0\in [-1;\,1]$, còn cứ với $n\in\mathbb N$ có $$s_{n+1}=2s_n^2-1.$$ Thế thì bằng cách viết $s_0=\cos\alpha$, sau truy toán, ta có ngay công thức số hạng tổng quát của dãy sẽ là $$s_n=\cos 2^n\alpha.$$
Read the rest of this entry »Bài viết này, viết về một kỹ năng cơ bản nhưng quan trọng ở trong Số Học. Đó là phép nâng bậc đồng dư. Nội dung bài viết bắt đầu từ một bài toán cũ kỹ và kinh điển, sau đó là sự khái quát hóa bài toán đó.
Mở đầu
Ở Số Học sơ cấp, một vấn đề cơ bản thường xuyên chúng ta phải xử lý, đó là xét số dư trong phép chia cho một số nguyên dương $m$ cho trước. Thường thì khi đối diện bài toán đó, trừ những trường hợp quá tầm thường, thì một ý tưởng rất bài bản là phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố (hành vi đó được bảo kê nhờ định lý cơ bản của Số Học). Sau đó, bài toán quy về xét đồng dư theo các mod ${p^k}$, trong đó $p$ là ước nguyên tố của $m$ còn $k$ là số mũ của $p$ khi phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố. Nếu ta xử lý được các vấn đề ở khâu đó, chúng ta sẽ có được câu trả lời ở mod $m$ nhờ ánh xạ phục dựng ở định lý CRT.
Vấn đề là, để xử lý theo mod $p^k$ như đã nói ở trên với $k>1$, một tư duy tự nhiên là đầu tiên ta phải xử lý được mod $p$ đã. Sau đó cần những kỹ năng, để nâng dần lên mod $p^2$, và lần hồi dần lên mod $p^k$.
Read the rest of this entry »Tags: Định Giá p-adic, LTE
Ở trong bài viết này, nhân tiện việc xử lý bài Croatia TST2011 tôi nói về khái niệm ước số chung lớn nhất của hai số hữu tỷ, đồng thời là khái niệm về hai số hữu tỷ nguyên tố cùng nhau. Trong bài viết, tôi ký hiệu tập các số nguyên tố là $\mathbb P$, còn để thay cho diễn đạt “hai số hữu tỷ $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau”, tôi sẽ sử dụng ký hiệu $x\bot y$.
Xin nêu lại nội dung bài toán trong đề thi Croatia kia, như sau
Read the rest of this entry »Tags: Định Giá p-adic, GCD, Nền Tảng
Với các bạn học sinh, trước khi tiếp cận bài viết này, nên đọc qua bài viết ở link sau http://maths.vn/lat-cat/
Ở bài viết nói trên, tôi đã lấy một ví dụ về sự tồn tại một lát cắt vô tỷ, đó là
$$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Lát cắt này về thực chất, là lát cắt xác định số vô tỷ $\sqrt[3]{2}$. Cũng ở bài viết đó, ta đã có khái niệm về tích các lát cắt, và như chúng ta vẫn khơi khơi thừa nhận thì $$\sqrt[3]{2}^3=2.$$ Vậy là có ngay bài toán sau
Một người bạn fb của tôi, ông Marian Dinca có đăng lên trang cá nhân của ông ấy một bài toán như sau
Bài toán 1. Cho các số thực $m,\,n,\,p$ với $m<n$ và $p>1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^p+y^p+z^p$, khi các biến $x,\,y,\,z$ thay đổi trên đoạn đóng $[m,\,n]$ và thỏa mãn ràng buộc $x+y+z=p$.
Bài toán như thế này, tôi có một kết quả tổng quát từ năm 2000, như sau
Read the rest of this entry »Các bài phương trình-hệ phương trình-bất phương trình thông thường không phải thuộc lớp các bài khó hay là đẹp ở các cuộc thi hsg Toán, vì đa số các kỹ năng sử dụng để giải thường là xù xì trâu bò. Bài toán hệ phương trình ở dưới đây, cũng không là ngoại lệ nếu chỉ dùng biến đổi đại số. Tuy nhiên nếu để ý kỹ kết cấu, thì dùng hình học vào cũng tạo cảm giác đẹp đẽ.
Read the rest of this entry »Bài toán sau, nói về đồng dư trên $\mathbb Q$ và thương Fermat trên đó.
Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[1 + \frac{1}{{{2^{p – 1}}}} + \ldots + \frac{1}{{{{\left( {p – 1} \right)}^{p – 1}}}} = \frac{m}{n}.\]Chứng minh rằng $(p-2)!m+n$ chia hết cho $p^2$.
Nó có lời giải như sau
Read the rest of this entry »Tags: Đồng Dư, ideal, Thương Đồng Dư
Bài toán sau đây ở một đề thi, nội dung là
Bài toán 1. Cho $2021$ số thực dương $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_{2021}$ và $F$ là tập con của $\mathbb R$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây
- $a_k^2\in F$ với mỗi chỉ số $k$, đồng thời $a_1+a_2+\ldots +a_{2021}\in F$.
- Nếu $x,\,y\in F,\,y\ne 0$ thì $x-y\in F$ và $\dfrac{x}{y}\in F.$
Chứng minh rằng, $a_k\in F$ với mỗi chỉ số $k$.
Bài toán này, có lẽ được mở rộng ra từ bài
Read the rest of this entry »Tags: Mở rộng trường
Có người em hỏi tôi bài toán sau, và bạn ấy cần một lời giải sơ cấp, nội dung bài toán như sau.
Bài toán 1. Cho các số nguyên $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn\[a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 5 + e\sqrt 7 = 0.\]Chứng minh $a=b=c=d=e=0$.
Bạn nào đã học về lý thuyết mở rộng trường, thì cái bài này quá đơn giản. Còn, với yêu cầu sơ cấp hóa, thì chả có gì đơn giản hơn, là ta đi sơ cấp hóa các quá trình làm việc bằng lý thuyết mở rộng trường. Và vì vậy, có lời giải như sau.
Read the rest of this entry »Tags: Galois, Mở rộng trường, số đại số
Có bạn nhờ tôi bài toán như sau
Bài toán. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $a$ sẽ có vô số nghiệm nguyên dương của phương trình\[\frac{{x + y + 1}}{y} + \frac{{y + a}}{x} = 4.\]
Tôi có lời giải như sau
Read the rest of this entry »
Phản Hồi