Articles by Mr 2M

You are currently browsing Mr 2M’s articles.

Cho $\mathbb I$ là một gian trên $\mathbb R$, một hàm $f:\,\mathbb I\to\mathbb R$ gọi là lồi trên $\mathbb I$ nếu và chỉ nếu với các số $a,\,b\in\mathbb I$ bất kỳ và $k\in (0;\,1)$ tùy ý, ta luôn có được bất đẳng thức sau\[f\left( {ka + \left( {1 – k} \right)b} \right) \le kf\left( a \right) + \left( {1 – k} \right)f\left( b \right).\] Bài viết này, có mục đích là chứng minh định lý sau đây

Định lý 1. Cho $\mathbb I$ là một khoảng mở của đường thẳng thực và hàm số $f:\,\mathbb I\to\mathbb R$ lồi trên $\mathbb I$, khi đó $f(x)$ là một hàm số liên tục trên $\mathbb I$.  Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Tập số thực có sự sắp tự hoàn chỉnh, nếu lấy mỗi số thực $r$ ra và đem so sánh với số $0$, thì có đúng ba trạng thái hệt như giới tính con người, đó là

  1. Không có dấu (buê-đê) nếu $r=0$.
  2. Dấu dương (man-lì) nếu $r>0$.
  3. Dấu âm (đàn bà) nếu $r<0$.

Với một đại lượng biến thiên $E$, khi đó có thể là $E$ bất biến dấu, không đổi dấu hoặc đổi dấu lung tung.. Nếu chúng ta lấy ra hai biểu thức chứa biến $x,\,y,\,..$ là $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$, ta sẽ nói $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên miền $D$ nếu cứ với mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì trạng thái dấu của $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ là như nhau. Cụ thể là, tại mỗi bộ $(x,\,y,\,..)\in D$ bất kỳ thì $A(x,\,y,\,..)$ và $A'(x,\,y,\,..)$ hoặc cùng bằng $0$ hoặc cùng dương, hoặc cùng âm. Ở phạm vi vài viết này, nếu $A$ và $A’$ tương đương về dấu trên $D$, tôi sẽ sử dụng ký hiệu\[A\mathop \sim\limits_D A’.\] Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Có bạn hỏi mình bài toán này lúc đang đi chơi, nhìn cực kỳ rối ren, như sau

Bài toán. Tìm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ giảm ngặt và thỏa mãn\[f(x + y) + f\left( {f(x) + f(y)} \right) = f\left( {f(x + f(y)) + f(y + f(x))} \right),\forall x,{\mkern 1mu} y \in\mathbb R. \] Read the rest of this entry »

Tags: ,

Ở IMO 2006, có bài đa thức như này

Bài toán N4 IMO 2006.  Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên có bậc $n$ với $n>1$, với mỗi số nguyên dương $k$ ta ký hiệu $
P_k(x)=\underbrace{P(P(\ldots(P(x) \ldots))}_{k\; \text{lần}\;P}
$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ lớn hơn $1$, luôn có không quá $n$ nghiệm nguyên phân biệt của phương trình $P_k(x)=x$.

Hôm nay, đem dạy bài này cho một đội để thị phạm cách chui vào bụi rậm rồi chui ra.. Cuối cùng xuất được cái lời giải sau 😀 Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Do cần tìm một phản ví dụ cho một phát biểu của một bạn giáo viên về tính đơn điệu của hàm khả vi, tôi đã tự đặt ra bài toán sau

Bài toán. Tồn tại hay không hàm số $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ có đạo hàm trên $\mathbb R$, thỏa mãn\[\left\{ {f’\left( x \right):\:x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q} \right\} = \left\{ 0 \right\},\;\;\,\left\{ {f’\left( x \right):\:x \in \mathbb Q} \right\} \subset {\left(0;\,+\infty\right) }?\] Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Chúng ta quan tâm đến khẳng định sau.

Mệnh đề 1. Cho $\mathbb I$ là một gian $\mathbb R$, hàm $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb I$. Giả sử với mỗi số thực $x\in\mathbb I$, ta đều có $f'(x)\ge 0$ và tồn tại một dãy số chứa tất cả các nghiệm của phương trình $f'(x)=0$. Khi đó, $f(x)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb R$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức hệ số thực, chúng ta quan tâm đến vấn đề là khi nào hàm số $h:\,\mathbb R\to\mathbb R$ với quy tắc tương ứng $h(x)=f(g(x))$ sẽ là một hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Rõ ràng, khi $f(x)$ hoặc $g(x)$ là hàm hằng thì $h(x)$ cũng là hàm hằng, do đó ta chỉ quan tâm đền tình huống $\deg f,\,\deg g>0$.

Do $\deg h=\deg f.\deg g$, và nếu $\deg h$ là một số nguyên dương chẵn thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right) = + \infty .\]Từ đây thấy rõ ràng là khi một trong hai đa thức $f(x)$ hoặc $g(x)$ có bậc chẵn, thì $h(x)$ không thể là hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Cũng để ý rằng, nếu $f(g(x))$ là nghịch biến, thì $-f(g(x))$ là hàm đồng biến, thêm nữa là nếu $f(g(x))$ là hàm đồng biến thì sau việc lấy giới hạn ra vô cực, ta thấy là hệ số ứng với bậc cao nhất của nó phải cùng dấu, mà hệ số này lại cùng dấu với tích của hai hệ số ứng với bậc cao nhất của $f(x)$ và $g(x)$ (do $\deg f,\,\deg g$ đều lẻ). Vì lẽ đó, ta chỉ cần quan tâm đến câu hỏi sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Dân AnNam mình có truyền thống làm ít-hít nhiều, cứ nói đến thưởng cái gì là cãi vã toán loạn. Nên có lẽ, chúng ta cần quan tâm đến bài toán rất thực tế sau

Bài toán chia phần thưởng. Có $m$ phần thưởng khác nhau. Hỏi, có bao nhiêu cách chia chúng cho $n$ người sao cho ai cũng sẽ được ít nhất một phần thưởng?

Gọi $N(m,\,n)$ là số cách chia thưởng khác nhau, rõ ràng khi mà $m<n$ thì do số phần thưởng không đủ cho nên $N(m,\,n)=0$. Do vậy, ta chỉ cần xét tình huống $m\ge n$. Nếu như không quan tâm đến tình huống bất công, tức là ai đó sẽ chẳng nhận được phần thưởng gì, khi đó ta có bài toán rất dễ sau đây Read the rest of this entry »

Tags: ,

Chúng ta bàn đến việc phá các căn ở dạng $\sqrt{x^2+k}$, với $k$ là một hằng số. Trước tiên là một hoàn cảnh như sau.

Bài toán 1. Tính tích phân $I=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.
Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Đưa ra bài toán sau, như một ví dụ về tư tưởng Counting In Two Ways ngay trong một bài toán không rời rạc.

Bài toán. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện$$x^{2019}-x f(x)-f(x)^{2019}=1, \quad \forall x \in[0 ; 1].$$Tính tích phân $I=\int_{0}^{1}(x+f(x))^{2} \mathrm{d} x$. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

« Older entries