Articles by Mr 2M

You are currently browsing Mr 2M’s articles.

Bài toán. Tìm $y\in\mathbb R$ thỏa$$y^3+4y^2+3y-1=0.$$

Lời giải. Đặt $y=\frac{x-4}{3}$, ta có \[\begin{align*}
{y^3} + 4{y^2} + 3y – 1 &= {\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^3} + 4{\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^2} + 3\left( { \frac{x-4}{3}} \right) – 1\\
&= \frac{1}{{27}}\left( {{x^3} – 21x – 7} \right).
\end{align*}\]Đặt tiếp $x=2\sqrt{7}\cos t$ với $t\in\left[0,\,\pi\right]$, ta sẽ có\[{x^3} – 21x – 7 = 7\left( {2\sqrt 7 \cos 3t – 1} \right).\]Cho nên, ta đưa về giải phương trình lượng giác\[\cos 3t = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}.\]Và đặt $\arccos\left(\frac{\sqrt 7}{14}\right)=\alpha$, ta có các nghiệm $t$ là $t_1=\alpha,\,t_2=\frac{2\pi}{3}-\alpha$ và $t_3=\frac{4\pi}{3}-\alpha$, như vậy, các giá trị của $y$ cần tìm là\[{y_1} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \alpha – 4}}{3},\;{y_2} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – \alpha } \right) – 4}}{3},\;{y_3} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – \alpha } \right) – 4}}{3}.\]Ở đây, $\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt 7}{14}\right)$.

Bài toán T3/493 trên THTT (tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ), có nội dung như sau.

Bài toán. Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[2^m=n^3-5n+10.\]

Bài toán này, có lời giải đăng trên báo THTT số 497. Tuy nhiên rất tiếc là lời giải bị sai bét, do mắc một sai lầm hết sức ngây thơ, đó là với $a,\,m$ là các số nguyên dương chẵn $b,\,n$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $ab=mn$ thì kéo theo $a=m$ và $b=n$.

Sau đây, là một lời giải đúng cho bài toán đó. Read the rest of this entry »

Tags: