Tháng Mười Một 2018

You are currently browsing the monthly archive for Tháng Mười Một 2018.

Bài toán. Tìm $y\in\mathbb R$ thỏa$$y^3+4y^2+3y-1=0.$$

Lời giải. Đặt $y=\frac{x-4}{3}$, ta có \[\begin{align*}
{y^3} + 4{y^2} + 3y – 1 &= {\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^3} + 4{\left( { \frac{x-4}{3}} \right)^2} + 3\left( { \frac{x-4}{3}} \right) – 1\\
&= \frac{1}{{27}}\left( {{x^3} – 21x – 7} \right).
\end{align*}\]Đặt tiếp $x=2\sqrt{7}\cos t$ với $t\in\left[0,\,\pi\right]$, ta sẽ có\[{x^3} – 21x – 7 = 7\left( {2\sqrt 7 \cos 3t – 1} \right).\]Cho nên, ta đưa về giải phương trình lượng giác\[\cos 3t = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}.\]Và đặt $\arccos\left(\frac{\sqrt 7}{14}\right)=\alpha$, ta có các nghiệm $t$ là $t_1=\alpha,\,t_2=\frac{2\pi}{3}-\alpha$ và $t_3=\frac{4\pi}{3}-\alpha$, như vậy, các giá trị của $y$ cần tìm là\[{y_1} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \alpha – 4}}{3},\;{y_2} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – \alpha } \right) – 4}}{3},\;{y_3} = \frac{{2\sqrt 7 \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – \alpha } \right) – 4}}{3}.\]Ở đây, $\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt 7}{14}\right)$.

Bài toán T3/493 trên THTT (tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ), có nội dung như sau.

Bài toán. Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn\[2^m=n^3-5n+10.\]

Bài toán này, có lời giải đăng trên báo THTT số 497. Tuy nhiên rất tiếc là lời giải bị sai bét, do mắc một sai lầm hết sức ngây thơ, đó là với $a,\,m$ là các số nguyên dương chẵn $b,\,n$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $ab=mn$ thì kéo theo $a=m$ và $b=n$.

Sau đây, là một lời giải đúng cho bài toán đó. Read the rest of this entry »

Tags:

Bài 1:   Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\le \dfrac{3}{4}.$$

Bài giải

Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có
$$ \dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z} \right),$$
hay
$$\dfrac{x}{2x+y+z}\le \dfrac{x}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right).$$
Tương tự như trên thì Read the rest of this entry »

 Đẳng thức 1. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}=3,$$
hay
$$x\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)+y\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+x} \right)+z\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y} \right)=3.$$
Đẳng thức 2. Với $x,y,z,k$  sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có
$$\dfrac{x+ky}{x+ky}+\dfrac{y+kz}{y+kz}+\dfrac{z+kx}{z+kx}=3,$$ Read the rest of this entry »