Tháng Sáu 2018
You are currently browsing the monthly archive for Tháng Sáu 2018.
Đây là bài toán 29 trong mã đề 123 mà bộ Dục ra cho học sinh, trong kỳ thi THPT năm 2018. Bài toán này thoạt nhìn chả có gì ghê gớm, bản chất vốn chỉ là một bài tính tích phân đơn giản với nội dung như sau.
Bài toán. Cho $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỷ thỏa mãn\[\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11.} \]Mệnh đề nào dưới đây đúng?\[A.\;a+b=-3c,\qquad B.\;a-b=-c,\qquad C.\;a+b=c,\qquad D.\;a+b=3c.\]
Để giải bài toán này, mẹo mực bấm máy thì mình không quan tâm. Nếu phải tính cái tích phân kia, thì mình làm như thế này. Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Cơ Bản Của Số Học, ĐMCS, Số Học, Tích Phân, UFD
Với các số nguyên dương $m,\,n$ cho trước và $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$, xét phương trình đồng dư\begin{align}x^n\equiv a\pmod m,\qquad (1).\end{align}Ở các phần phía trước bao gồm http://songha.maths.vn/khai-niem-thang-du-bac-cao-va-can-theo-modulo/, http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ và http://songha.maths.vn/so-cac-thang-du-bac-cao/ thì về cơ bản thì chúng ta đã giải quyết được hai vấn đề, đó là Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Ở bài viết về điều kiện để là thặng dư bậc cao ở http://songha.maths.vn/dieu-kien-la-mot-thang-du-bac-cao/ , ta đã chỉ ra rằng nếu $m=m_1m_1$ với $m_1,\,m_2\in\mathbb Z^+$ trong đó $\gcd\left(m_1,\,m_2\right)=1$ và $n$ là một số nguyên dương. Khi đó số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau với $m$ và là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$ nếu và chỉ nếu $a$ vừa là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_1$ và đồng thời là thặng dư bậc $n$ theo mod $m_2$.
Bây giờ với $a_1,\,a_2$ lần lượt là các thặng dư bậc $n$ theo các mod $m_1,\,m_2$ tương ứng. Lúc đó, lại theo định lý thặng dư Trung Hoa sẽ tồn tại duy nhất $a\in\mathcal U_m$ sao cho Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Cho các số nguyên dương $m,\,n$ và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$, giả sử phân tích ra thừa số nguyên tố của $m$ là\[m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_t^{k_t}.\]Trong đó, $k_i\in\mathbb{Z}^+,\,p_i\in\mathbb P,\;\forall\,i=\overline{1,\,t}$ và $p_1<p_2<\ldots<p_t$.
Nếu $a$ là một thặng dư bậc $n$ theo mod $m$, thì từ $a\equiv r^n\pmod m$ với $r$ là một căn bậc $n$ của $a$ theo mod $m$, ta có Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Định Giá p-adic, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Cho trước các số nguyên dương $m,\,n$, và số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a,\,m)=1$. Khi đó, với việc biết cấp của $a$ theo mod $m$ là $\text{ord}_m(a)=h$ chúng ta đã có được thuật toán tìm số dư $r$ của $a^n$ khi chia $m$ đó là.
- Tìm số dư $r_0$ của $n$ khi đem chia cho $h$.
- Tìm số dư $r$ khi đem $a^{r_0}$ chia cho $m$.
Công việc này dù rắc rối hơn đôi chút, nhưng cũng giống như vấn đề ở đại số sơ cấp đó là tính giá trị của lũy thừa $a^n$ khi biết trước $a$ và $n$. Read the rest of this entry »
Tags: Căn Nguyên Thuỷ, Căn theo modulo, Cấp và căn theo modulo, Số Học, Thặng Dư Bậc Cao, Thặng Dư Bậc Hai
Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số nguyên tố Fermat hay các số nguyên tố Mersene. Một vấn đề đơn giản hơn, đó là nói đến các ước nguyên tố của phần tử trong dãy. Bài viết này bàn về khái niệm ước nguyên tố của một dãy số nguyên, và tập các ước nguyên tố đó. Phạm vi bài viết là ở mức độ các bài toán sơ cấp, mặc dù vấn đề trong bài vẫn được nghiên cứu ở lý thuyết Số cao cấp. Read the rest of this entry »
Tags: Định Giá p-adic, Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, Định Lý Polya, Định Lý Schur, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Số Học, Ước Nguyên Tố Của Dãy Nguyên
Suốt dọc từ đây của bài giảng này đến hết, mỗi khi viết $\text{ord}_m(a)$ ta sẽ mặc định các điều kiện là $m\in\mathbb Z^+,\;a\in\mathbb Z$ và $\gcd(a;\,m)=1$. Tính chất đầu tiên của mục này, sẽ cho ta thấy ngay tác dụng của cấp trong việc tìm số dư của lũy thừa bậc cao.
Tính chất 1. Với các số mũ $k;\,l\in\mathbb N$ và $\text{ord}_m(a)=d$ khi đó đồng dư $a^k\equiv a^l\pmod m$ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra đồng dư $k\equiv l\pmod d$.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $k\ge l$. Trước tiên ta đi chứng minh rằng hễ $k\equiv l\pmod d$ thì $a^k\equiv a^l\pmod m$, thật vậy. Vì $k\equiv l\pmod d$ nên $k=l+qd$ với $q\in\mathbb N$ khi ấy do $a^d\equiv 1\pmod m$ nên Read the rest of this entry »
Tags: Cấp và căn theo modulo, Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, Đồng Dư, Nhóm, Nhóm Đơn Vị, Số Học
Bài giảng này viết về khái niệm tập hợp, một khái niệm nền móng và cơ bản của Toán Học hiện đại. Khái niệm tập hợp giữ vai trò đặc biệt quan trọng trong Toán Học, không chỉ vì cho đến nay, lý thuyết Tập Hợp đã trở thành một nhánh rộng rãi và phong phú, mà còn vì từ sự xuất hiện từ chừng hai thế kỷ trước, lý thuyết Tập Hợp đã và vẫn đang có những ảnh hưởng sâu sắc đến toàn bộ Toán Học. Ở phạm vi bài viết này, tôi chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản thuần túy, cùng các phép toán trên tập cơ bản nhất như giao, hợp, hiệu các tập. Một mục đích nữa của bài giảng, là cung cấp nền tảng khởi đầu cho môn Tổ Hợp. Vì thế, nên trong bài giảng có bàn đến các quy tắc xác định lực lượng tập hợp như nguyên lý cộng, bù trừ và nguyên lý nhân. Read the rest of this entry »
Tags: Bài Toán Đếm, Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Nền Tảng, Số Học, Tập Hợp, Tổ Hợp
Định lý Beaty. Cho $a;\,b\in\mathbb R^+\setminus \mathbb Q$ thoả $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$, đặt $$\mathcal A=\left\{\left\lfloor an\right\rfloor:\;n\in\mathbb Z^+\right\},\;\mathcal B=\left\{\left\lfloor bn\right\rfloor:\;n\in\mathbb Z^+\right\}.$$ Khi đó\[\mathcal A\cap\mathcal B=\emptyset\;\text{và}\;\mathcal A\cup\mathcal B=\mathbb Z^+.\]
Chứng minh. Dễ thấy $\mathcal A$ và $\mathcal B$ đều là tập con của $\mathbb Z^+$, giả sử $\mathcal A\cap\mathcal B\ne\emptyset$ khi đó sẽ phải tồn tại các số nguyên dương $k;\,l;\,m$ sao cho\[\left\lfloor ka\right\rfloor=\left\lfloor lb\right\rfloor=m\]
Để ý rằng $ka;\,lb\notin\mathbb Q$ nên điều đó dẫn đến Read the rest of this entry »
Tags: Hàm Phần Nguyên, Hàm Số Học, Phân Hoạch, Số Học, Số Vô Tỷ, Trù Mật
Chúng ta thấy rõ ràng rằng, nếu cơ số $a$ nguyên (để tránh trường hợp tầm thường thì $|a|\ne 1$) và số mũ $n$ rất lớn thì việc tính trực tiếp giá trị của $a^n$ sau đó mới lấy giá trị đó thực hiện phép chia cho $m$ để tìm dư, là một việc thường không thực tế.
Một ví dụ đơn giản, là bài toán tìm 5 chữ số tận cùng của $5^{2016}$. Về bản chất, thì công việc đó chính là đi tìm số dư của $5^{2016}$ trong phép chia cho $10^5$. Vì $10^5=2^5.5^5$ và dễ nhận ra rằng $5^5\mid 5^{2016}$ nên vấn đề sẽ quy về tìm số dư của $5^{2016}$ khi đem chia nó cho $2^5$. Công việc sau đó, chỉ là kết hợp 2 đồng dư để cho ta kết quả số dư khi chia $5^{2016}$ cho $10^5$.
Rõ ràng, việc tính ra giá trị của $5^{2016}$ sau đó đem chia cho $2^5$ rồi xem dư bao nhiêu là một chuyện không tưởng (nhất là nếu không có sự hỗ trợ của Read the rest of this entry »
Tags: Cấp và căn theo modulo, Đồng Dư, Số Học
Cuộc sống, được chúng ta nhận thức qua sự hiện hữu và vận động của các thành tố trong nó. Khi tồn tại để vận động và phát triển, các đối tượng tương tác với nhau theo những quy luật được xác định, để rồi có những ảnh hưởng đến giá trị về lượng và chất tương ứng. Chính sự tương tác ảnh hưởng qua lại giữa các đối tượng của cuộc sống, giúp chúng ta nhận thức được bản chất các đối tượng đó theo nhiều góc nhìn. Read the rest of this entry »
Tags: Ánh Xạ, Đại Số, Dãy Số, Giải Tích, Hàm Đặc Trưng, Hàm Số, Hình Học, Nhóm, Phép Toán Hai Ngôi, Phiếm Hàm, Số Học, Tổ Hợp
Định lý 7.1. Với $m$ là bội chung nhỏ nhất của $m_1$ và $m_2$. Điều kiện để các đồng dư đồng thời sau \[x\equiv a_1\pmod{m_1},\] \[x\equiv a_2\pmod{m_2},\] có nghiệm là
\[\gcd\left( m_1,\,m_2\right)\mid a_1-a_2.\]
Nếu $(1)$ cố định, lúc đó nghiệm của $(1)$ là duy nhất mod $m$.
Chứng minh. Đặt $\gcd\left(m_1,\,m_2\right)=d$. Nếu hai đồng dư đồng thời đó có một nghiệm, lúc đó Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Thặng Dư Trung Hoa, Đồng Dư, Số Học
Phản Hồi