Tháng Năm 2018

You are currently browsing the monthly archive for Tháng Năm 2018.

 1. Khái niệm

Với $m$ là một số nguyên khác $0$. Nếu $a-b$ là bội của $m$, lúc đó ta nói $a$  đồng dư với $b\mod m$ và ta viết $a\equiv b\pmod m$. Nếu $a$ không đồng dư với $b$ mod $m$, lúc đó ta viết $a\not\equiv b\pmod m$.

Ví dụ.  $31\equiv -9\pmod {10}$.

Nếu $a,\,b$ đều là các số nguyên lúc đó ta luôn có $a\equiv b\pmod 1$.

Khái niệm của đồng dư xảy ra thường xuyên và và trong ngay cả cuộc sống hằng ngày của chúng ta, một ví dụ đó là để xác định ngày trong tuần chúng ta sẽ xét đồng dư $\mod 7$. Trong lịch ở đất nước chúng tôi ta đếm số năm bằng việc xét đồng dư $\mod 60$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

 

 Với các hàm số một biến số, chắc không cần xúi bẩy, bạn đọc cũng hiểu là kỹ năng chủ đạo để xử lý đó là tuân thủ nghiêm cẩn các khâu bước của quá trình khảo sát hàm. Tuy nhiên ở dưới đây, trong nhiều bài toán, tôi giấu nhẹm đi con dao đạo hàm. Việc tôi làm, thật ra chả có gì huyền bí, cao siêu cả. Đơn giản là, nếu muốn chứng minh $f\left( x \right)\ge 0$, hoặc là đi tìm cực trị một hàm $f\left( x \right)$. Thì ở trên giấy nháp, bằng cách này hay cách khác (có thể dùng đạo hàm), nếu tôi bắt được nới xảy đến dấu bằng (hoặc nơi đạt cực trị). Tôi chỉ việc kiểm soát cái gia số, qua việc viết $f\left( x \right)=f\left( c \right)+{{\Delta }_{f\left( x \right)}}$, với $c$ là điểm đã dự đoán. Công việc còn lại, đó là  xét dấu của ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}=f\left( x \right)-f\left( c \right)$theo yêu cầu của đề toán. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Bài giảng này, là một bài giảng nói đến những vấn đề cơ bản nhất của Tổ Hợp. Cái môn học này nghe nhiều người nói là rất dễ, vì nó đời. Cơ  mà với mình (tức là tác giả), thì mình thấy môn này nó khó khắm-khó khú, đại khái là khó lắm lắm… Bởi vậy, mang tiếng là viết để vác đi dạy, nhưng mình coi là chép lại để đi học. Mình cố chép những thứ dễ nhất, liên hệ đến những hình tượng đơn giản nhất, và cố gằng diễn tả nó bằng thứ ngôn ngữ … nghiêm nghị nhất :D. Mình mong, nhận được những góp ý, nhận xét chân thành từ các bạn.
Read the rest of this entry »

Tags: , ,

 

Lời nói đầu: Bài giảng này, lại là một câu chuyện hết sức tào lao nữa của tôi, về 1 khái niệm khá là cao siu-trìu tượng trong Toán Học sơ cấp. Một câu chuyện tào lao, mà lại nói về một điều nghiêm túc và quan trọng, thật khó mà kể lể! Vì thế, mong bạn đọc, khi đọc nó (bài giảng này), hãy dành cho nó một sự lương thiện và hồn nhiên cần thiết. Bạn hãy ý thức là, tôi viết nên nó chỉ là trình bày và chia sẻ chút nhận thức cá nhân của mình. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Phương trình nghiệm nguyên sau đây, là một bài toán khá nổi tiếng trên AMM những năm trước. Việc giải quyết nó đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết về phương trình Pythagoras

Bài toán.  Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x^3+4x=y^2.$$

Lời giải. Trước tiên ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề.  Hễ phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ thì $2\mathfrak x\mathfrak y$ không là số chính phương.

Chứng minh.  Giả sử phương trình đó có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ với $2\mathfrak x\mathfrak y$ là số chính phương, gọi $\left(a;\,b;\,c\right)$ là bộ nghiệm như thế với $c$ nhỏ nhất. Do tính thuần nhất của phương trình nên
\[\gcd \left( {a;\,b} \right) = \gcd \left( {b;\,c} \right) = \gcd \left( {c;\,a} \right) = 1.\] Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Bài toán sau đây có sử dụng đến định giá p-adic, nội dung như sau

Bài toán. Cho số nguyên tố $p$ và các số tự nhiên $x;\,y;\,m$, với $x;\,y>1$ thỏa mãn \[\frac{x^p+y^p}{2}=\left(\frac{x+y}{2}\right)^m.\] Chứng minh rằng $m=p$.
Lời giải. Giả sử $m\ne p$, theo bất đẳng Jensen ta có\[{\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^m} = \frac{{{x^p} + {y^p}}}{2} \ge {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^p}.\]Từ đó, $m>p\ge 2$ ta giả sử $\gcd(x;\,y)=d$ và viết $x=da;\,y=db$ với $\gcd(a;\,b)=1$ để có\[{2^{m – 1}}\left( {{a^p} + {b^p}} \right) = {d^{m – p}}{\left( {a + b} \right)^m}.\] Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Dưới đây là lời giải cho một bài toán rất khó về tính chất số học của đa thức.

Bài toán. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Lời giải.  Giả sử $P(x)$ và $m$ là đa thức và số nguyên dương thỏa mãn, ta có 2 nhận xét sau:

Nhận xét 1. Nếu $p$ là ước nguyên tố lẻ của $m+2^nP(n)$ thì $p\mid P'(n).$

Chứng minh. Ta có $v_p\left(m+2^nP(n)\right)\ge 2$, theo Fermat bé thì\[m + {2^n}P\left( n \right) \equiv m + {2^{n + p\left( {p – 1} \right)}}P\left( {n + p\left( {p – 1} \right)} \right)\pmod{p}.\]Vì thế ta lại có $v_p\left(m+2^{n+p(p-1)}P\left(n+p(p-1)\right)\right)\ge 2$, theo bổ đề tiếp tuyến và định lý Euler ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Bài toán khá thú vị sau đây nói về đồng dư của tổng các luỹ thừa theo mod nguyên tố, nội dung như sau.

Bài toán. Cho $p$ là số nguyên lẻ và số nguyên dương $k<p-1$, chứng minh rằng\[1^{k}+2^{k}+…+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\]

Bài toán này, có hai lời giải như dưới đây. Lời giải đầu sử dụng đến định lý Viettè với đa thức trên $\mathbb Z_p$, còn lời giải thứ hai sử dụng đến căn nguyên thuỷ. Cụ thể là thế này. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Mục đích chính của chương là đi chứng minh định lý cơ bản của số học và những ứng dụng của nó. Suốt bài viết này, để biểu diễn những số nguyên ta dùng những chữ cái latinh nhỏ\[a,\,b,\,c,\,\ldots,\,m,\,n,\,\ldots ,\,x,\,y,\,z.\]

Chúng ta gọi những số $1,\,2,\,3,\ldots $ là những số tự nhiên và \[\ldots,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots\] Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Newer entries »