Với $m$ là một số nguyên dương cho trước và $f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ là một đa thức hệ số nguyên, chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình đồng dư\[f(x)\equiv 0\pmod m.\]Nhận xét rằng, nếu $x_0$ là một nghiệm của phương trình đồng dư trên thì với mọi số nguyên $t$ ta có $x_0+mt$ cũng là nghiệm. Điều đó cho thấy hễ $x_0$ là một nghiệm, thì lớp thặng dư sinh bởi $x_0$ cũng ta nghiệm. Bởi vậy, khi ta nói đến số nghiệm của một phương trình đồng dư thì ta hiểu đó là số các lớp thặng dư khác nhau thoả mãn phương trình. Read the rest of this entry »
You are currently browsing the monthly archive for Tháng Năm 2018.
Định lý 9.1. Với $p$ là một số nguyên tố. Lúc đó số nghiệm của đồng dư $$\begin{align} f(x)=a_nx_n+\ldots+a_0\equiv 0\pmod p,\end{align}\quad (7)$$không vượt quá $n$.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng $p\nmid a$. Định lý sẽ trở nên tầm thường nếu $(7)$ không có nghiệm. Nếu $a$ là một nghiệm khi đó ta có thể viết \[f(x)=(x-a)f_1(x)+r_1,\] trong đó ta thấy rằng $p\mid r_1=f(a)$. Từ đó $$f(x)\equiv (x-a)f_1(x)\pmod p.$$ Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Đồng Dư, Phương Trình Nghiệm Nguyên, Số Học
Định lý. Với $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, và ta kí hiệu số nguyên $s^*$ thoả $ss^*\equiv 1 \pmod{p^2}$ là $\dfrac{1}{s}$. Lúc đó ta có \[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{p – 1}} \equiv 0 \pmod {p^2} \]
Chứng minh. Với Read the rest of this entry »
Tags: Đa Thức, Định Lý Đơn Vị, Định Lý Wolstenholme, Đồng Dư, Số Học
Bài 1. Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} – \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
- Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
- Chứng minh rằng
\[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]link: http://mathscope.org/showthread.php?t=51561
Tags: Bất Đẳng Thức, Đại Số, Dãy Số, Dãy Số Nguyên, Giải Tích, Giới Hạn, Hàm Số, Hình Học Phẳng, Số Học, Tổ Hợp
Đây là hai bài toán hình học trong đề thi VMO 2018, hai bài được cho trong hai ngày thi và là những bài toán khó nhất là bài 2.
Bài ngày 1. Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ với $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Lấy điểm $E$ trên cạnh $AB$ và điểm $F$ trên cạnh $AC$ sao cho $\widehat{DEB}=\widehat{DFC}$. Các đường thẳng DF,DE lần lượt cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $(I_1),(I_2)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEM,DFN$. Kí hiệu $(J_1)$ là đường tiếp xúc trong với $(I_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AB$ tại $K$, $(J_2)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_2)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $H$, $P$ là giao điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$, $Q$ là giao điểm của $(J_1)$ và $(J_2)$ ($P,Q$ khác $D$) Read the rest of this entry »
Tags: Đồng Quy, Đường Tròn, Hình Học Phẳng, Thẳng Hàng, VMO
Trước tiên, ta có được định lý sau.
Định lý. Với $\gcd\left( m,\,m’\right)=1$, và để $x$ chạy khắp một hệ thặng dư đầy đủ mod $m$, và $x’$ chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod $m’$. Lúc đó $mx’+xm’$ chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod $mm’$.
Chứng minh. Xét $mm’$ số $mx’+xm’$. Nếu \[mx’+m’x\equiv my’+m’y\pmod{mm’},\] Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Đơn Vị, Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, Đồng Dư, Số Học
Bổ đề sau tuy đơn giản, nhưng có ý nghĩa lớn trong việc nâng bậc đồng dư. Nó là mấu chốt cho việc chứng minh hệ thống bổ đề LTE.
Bổ Đề. Cho $P(x) \in\mathbb Z [x]$, $p$ là số nguyên tố và $x \equiv a\pmod p$, khi đó
\[P(x) \equiv P(a) + (x – a)P'(a)\pmod{p^2}.\]
Chứng minh. Do tính đóng của các phép toán số học với quan hệ đồng dư, nên thực chất bổ đề này chỉ cần chứng minh với trường hợp $P(x)=x^n$. Lúc đó, chỉ cần viết ra hằng đẳng thức sau là thấy ngay Read the rest of this entry »
Tags: Bổ Đề Nâng Bậc, Bổ Đề Tiếp Tuyến, Đạo Hàm, Đồng Dư, Số Học
Vào năm 1828 Abel đưa ra một câu hỏi là liệu có số nguyên $a$ và số nguyên tố $p$ nào thoả $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p^2?$. Theo Jacobi : $p\le 37$ lúc đó đồng dư thức trên có những nghiệm $(p,\,a)$ là \[(11,\,3),\,\quad (11,\,9),\,\quad (29,\,14),\,\quad (37,\,18).\] Qua quá trình nghiên cứu định lý cuối cùng của Fermat đã thúc đẩy vấn đề này. Định lý như sau: Với $p$ là mộ số nguyên tố lẻ. Nếu tồn tại những số nguyên $x,\,y,\,z$ thoả $x^p+y^p+z^p=0,\,p\nmid xyz$, lúc đó \[2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2},(1)\] Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Fermat bé, Đồng Dư, Nghiệm Fermat, Số Học
1. Khái niệm
Với $m$ là một số nguyên khác $0$. Nếu $a-b$ là bội của $m$, lúc đó ta nói $a$ đồng dư với $b\mod m$ và ta viết $a\equiv b\pmod m$. Nếu $a$ không đồng dư với $b$ mod $m$, lúc đó ta viết $a\not\equiv b\pmod m$.
Ví dụ. $31\equiv -9\pmod {10}$.
Nếu $a,\,b$ đều là các số nguyên lúc đó ta luôn có $a\equiv b\pmod 1$.
Khái niệm của đồng dư xảy ra thường xuyên và và trong ngay cả cuộc sống hằng ngày của chúng ta, một ví dụ đó là để xác định ngày trong tuần chúng ta sẽ xét đồng dư $\mod 7$. Trong lịch ở đất nước chúng tôi ta đếm số năm bằng việc xét đồng dư $\mod 60$. Read the rest of this entry »
Tags: Định Lý Euler, Định Lý Fermat bé, Đồng Dư, Hệ Thặng Dư Thu Gọn, Nhóm Đơn Vị, Số Học
Với các hàm số một biến số, chắc không cần xúi bẩy, bạn đọc cũng hiểu là kỹ năng chủ đạo để xử lý đó là tuân thủ nghiêm cẩn các khâu bước của quá trình khảo sát hàm. Tuy nhiên ở dưới đây, trong nhiều bài toán, tôi giấu nhẹm đi con dao đạo hàm. Việc tôi làm, thật ra chả có gì huyền bí, cao siêu cả. Đơn giản là, nếu muốn chứng minh $f\left( x \right)\ge 0$, hoặc là đi tìm cực trị một hàm $f\left( x \right)$. Thì ở trên giấy nháp, bằng cách này hay cách khác (có thể dùng đạo hàm), nếu tôi bắt được nới xảy đến dấu bằng (hoặc nơi đạt cực trị). Tôi chỉ việc kiểm soát cái gia số, qua việc viết $f\left( x \right)=f\left( c \right)+{{\Delta }_{f\left( x \right)}}$, với $c$ là điểm đã dự đoán. Công việc còn lại, đó là xét dấu của ${{\Delta }_{f\left( x \right)}}=f\left( x \right)-f\left( c \right)$theo yêu cầu của đề toán. Read the rest of this entry »
Tags: Bất Đẳng Thức, Đại Số, Đạo Hàm, Giải Tích, Hàm Số, Khảo Sát Hàm, Sai Phân
Bài giảng này, là một bài giảng nói đến những vấn đề cơ bản nhất của Tổ Hợp. Cái môn học này nghe nhiều người nói là rất dễ, vì nó đời. Cơ mà với mình (tức là tác giả), thì mình thấy môn này nó khó khắm-khó khú, đại khái là khó lắm lắm… Bởi vậy, mang tiếng là viết để vác đi dạy, nhưng mình coi là chép lại để đi học. Mình cố chép những thứ dễ nhất, liên hệ đến những hình tượng đơn giản nhất, và cố gằng diễn tả nó bằng thứ ngôn ngữ … nghiêm nghị nhất :D. Mình mong, nhận được những góp ý, nhận xét chân thành từ các bạn.
Read the rest of this entry »
Lời nói đầu: Bài giảng này, lại là một câu chuyện hết sức tào lao nữa của tôi, về 1 khái niệm khá là cao siu-trìu tượng trong Toán Học sơ cấp. Một câu chuyện tào lao, mà lại nói về một điều nghiêm túc và quan trọng, thật khó mà kể lể! Vì thế, mong bạn đọc, khi đọc nó (bài giảng này), hãy dành cho nó một sự lương thiện và hồn nhiên cần thiết. Bạn hãy ý thức là, tôi viết nên nó chỉ là trình bày và chia sẻ chút nhận thức cá nhân của mình. Read the rest of this entry »
Tags: Bất Đẳng Thức, Đại Số, Đạo Hàm, Giải Tích, Hàm Số, Khảo Sát Hàm, Sai Phân
Phản Hồi