Tháng Năm 2018

You are currently browsing the monthly archive for Tháng Năm 2018.

Sự phân tích các đa thức

22/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Trước tiên ta có khẳng định sau

Định lý 13.1.Với $g(x)$ và $h(x)$ là hai đa thức với các hệ số nguyên, trong đó:
\[\begin{align*}
g(x)=&a_lx^l+\ldots+a_0,\,\quad\quad a_l\ne 0\\
h(x)=&b_mx^m+\ldots+b_0,\,\quad\; b_m\ne 0
\end{align*}\]
Giả sử rằng $g(x)h(x)=c_{l+m}x^{l+m}+\ldots+c_0$, khi đó \[\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right).\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right) =\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right). \]

Chứng minh. Ta có thể coi $\gcd\left( a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_0\right)=\gcd\left( b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_0\right)=1$. Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $\gcd\left( c_{l+m},\,c_{l+m-1},\,\ldots,\,c_0\right)$ và Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , , ,

Các đa thức giá trị nguyên

22/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Chúng ta quan tâm đến khái niệm sau.

Định nghĩa. Một đa thức $f(x)$ với biến $x$ được gọi là Đa thức giá trị nguyên khi và chỉ khi nó nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.

Ví dụ. Các đa thức có hệ số nguyên là những đa thức giá trị nguyên. Tuy nhiên có những đa thức có hệ số không là số nguyên nhưng vẫn là đa thức giá trị nguyên, chẳng hạn đa thức sau đây \[\dbinom{x}{r} = \dfrac{{x(x – 1) \ldots (x – r + 1)}}{{r!}}.\]Ta kí hiệu $f(x+1)-f(x)=\Delta f(x)$ và có khẳng định sau. Read the rest of this entry »

Tags: , , , , , ,

Bậc của một số nguyên tố trong giai thừa

22/05/2018 in Số Học by 2H | 1 comment

Với $n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Khi phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố, ta quan tâm đến bậc của $p$ trong phân tích đó. Và có định lý của Legendre như sau.

Định lý 11.1. Với $p$ là số nguyên tố. Lúc đó số mũ đúng của $p$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của $n!$ là \[v_p\left(n!\right)=\left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^1}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^2}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{p^3}}}} \right\rfloor + \ldots \]
 Để ý rằng, chỉ có hữu hạn các số hạng khác không trong tổng trên. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Các số Mersenne và các số Fermat

22/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Việc khẳng định sự tồn tại một số hoàn hảo lẻ là một bài toán khó và rất nổi tiếng. Ở chương trước ta thấy xác định một số hoàn hảo chẵn sẽ quy về việc xác định những số nguyên tố Mersenne, đó là số nguyên tố dạng $2^{n}-1,$ từ đó ta có sự tương ứng giữa những số nguyên tố Mersenne và  những số hoàn hảo chẵn. Tuy nhiên, việc khẳng định có tồn tại vô hạn số nguyên tố Mersenne hay không lại là một vấn đề rất khó và chưa có lời giải trong lý thuyết số.

 
Định lý 10.1. Nếu $n>1$ và $a^{n}-1$ là một số nguyên tố, thì lúc đó $a=2$ và $n$ là một số nguyên tố. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Số hoàn hảo

20/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Ở trong bài viết này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn một loại số đặc biệt. Đó là các số hoàn hảo, cùng với đó là các tính chất thú vị của nó.

Định lý 9.1. Ký hiệu $\sigma (n)$ là tổng các ước số của $n$. Nếu $n=p_1^{a_1}\ldots p_s^{a_s}$, lúc đó \[\sigma (n) = \dfrac{{{p_1}^{{a_1} + 1} – 1}}{{{p_1} – 1}} \ldots \dfrac{{{p_s}^{{a_s} + 1} – 1}}{{{p_s} – 1}}.\]

Chứng minh. Tất cả những ước số của $n$ có dạng \[p_1^{x_1}\ldots p_s^{x_1},\,\quad 0\le x_1\le a_1,\,\ldots,0\le x_s\le a_s.\] Từ đó ta có Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Các phương trình tuyến tính bất định

20/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Trong phần này ta bàn đến các phương trình dạng $ax+by=c$, (với $a,\,b,\,c$ là những hằng số nguyên) và một số vấn đề xoay quanh chủ đề đó như điều kiện có nghiệm, cấu trúc tập nghiệm hay các số Frobenius.

Trước tiên, từ Định lý4.4  ta có ngay định lý sau đây.

Định lý 8.1. Điều kiện cần và đủ cho phương trình \[ax+by=n\] để có nghiệm nguyên $x,\,y$ là $\gcd\left(a,\,b\right)\mid n$

Đồng thời ta cũng có khẳng định sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Nguyên lý bao hàm loại trừ

20/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Định lý 7.1. Cho $N$ đối tượng, và giả sử rằng có $N_{\alpha}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\alpha$, $N_{\beta}$ đối tượng trong chúng mang tính chất $\beta,\,\ldots,$ $N_{\alpha\beta}$ trong chúng mang cả hai tính chất $\alpha\beta,\,\ldots,\,N_{\alpha\beta\gamma}$ trong chúng mang cả ba tính chất $\alpha,\,\beta $ và $\gamma,\,\ldots$. Lúc đó số các đối tượng không có bất kì tính chất nào được nêu trên được tính bởi công thức
\[\begin{align*}
N &- {N_\alpha } – {N_\beta } – \ldots \\
&+ {N_{\alpha \beta }} +N_{\alpha \gamma } \ldots \\
&- {N_{\alpha \beta \gamma }} – \ldots \\
&+ \ldots – \ldots
\end{align*}; \qquad (A).\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

20/05/2018 in Số Học by 2H | 1 comment

Chọn $x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n$ là $n$ số nguyên bất kì. Ta kí hiệu $\min\left(x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n\right)$ và $\max\left(x_1;\,x_2 \ldots ;\, x_n\right)$ lần lượt là số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số $x_1;\,x_2;\, \ldots ;\, x_n$ đó. Định lý nêu ra sau đây là hiển nhiên.

Định lý 6.1. Với $a,\,b$ là hai số nguyên dương và $p_1,\,p_2,\,\ldots,p_s$ là những ước nguyên tố thì, lúc đó ta có thể viết
\[\begin{align*}
a &= p_1^{{a_1}}p_2^{{a_2}} \ldots p_s^{{a_s}},\quad {a_v} \ge 0,\\ \\
b &= p_1^{{b_1}}p_2^{{b_2}} \ldots p_s^{{b_s}},\quad {b_v} \ge 0,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {p_1} < {p_2} < \ldots {p_s}.
\end{align*}\] Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Định lý cơ bản của số học

20/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Trước tiên, ta quan tâm đến khẳng định sau đây.

Định lý 5.1. Với p là một số nguyên tố, và $p \mid ab$. Lúc đó hoặc $p \mid a$ hoặc $p \mid b$.

Chứng minh. Nếu $p \nmid a$, lúc đó $\gcd(a,\,p)=1$ . Từ định lý 4.4 ở bài viết Modulus của các số nguyên, sẽ tồn tai hai số nguyên $x,\,y$ thoả mãn \[xa+yb=1,\]từ đó ta có được\[b=xab+ybp.\]Lại  có $p\mid ab$ và $x,\,b\in\mathbb Z$ nên $p\mid b$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Modulus của các số nguyên.

20/05/2018 in Số Học by 2H | 2 comments

Một modulus được hiểu là một tập hợp các số nguyên với tính đóng với những phép toán cộng và trừ. Nói cách khác, nếu $m,\,n$ là các số nguyên ở trong một modulus thì $m+n$ và $m-n$ cũng thuộc modulus đó. Một modulus chỉ bao gồm duy nhất số $0$ được gọi là modulus $0$. Một tập hợp các số nguyên có dạng một modulus cũng giống như tập của các số nguyên là bội của một số nguyên $k$ cố định.

Định lý 4.1.  Chúng ta có một số tính chất cơ bản như sau về modulus

  1.  Số $0$ thuộc về tất cả các modulus
  2.  Với $a,\,b$ cùng thuộc về một modulus và $m,\,n $ là các số nguyên, lúc đó $am+bn$ cũng thuộc về modulus.

Read the rest of this entry »

Tags: , , , , ,

Sàng Eratosthenes và bảng các số nguyên tố

20/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Ta đã biết một vài số nguyên tố đầu tiên, đó là các số sau \[2,\,3,\,5,\,11,\ldots.\]
Bây giờ nếu $N$ là một số không quá lớn, thì sẽ không khó để xác định tất cả các số nguyên tố không vượt quá $N$. Phương pháp đó gọi là sàng Eratosthenes. Cơ sở của nó là, nếu $n \le N$ và $n$ không phải là số nguyên tố thì $n$ phải là bội của một số nguyên tố không vượt quá giá trị $\sqrt N$.

Đầu tiên ta liệt kê tất cả các số nguyên giữa $2$ và $N$ \[2,\,3,\,4,\,5,\ldots.\] Chúng ta sắp xếp chúng lại như sau: Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Số nguyên tố và hợp số

20/05/2018 in Số Học by 2H | No comments

Chúng ta chia số nguyên dương làm ba loại:

  1.  Số nguyên dương duy nhất có đúng một ước nguyên dương, đó là số $1$.
  2. Số nguyên dương có đúng hai ước nguyên dương là $1$ và chính nó, đó là những số nguyên tố. Về bản chất, đó là các số không có ước thực sự.
  3. Các số có nhiều hơn hai ước số nguyên dương, và nghĩa là nó có ước thực sự. Những số đó gọi là hợp số. Ở bài viết này, chúng ta thường kí hiệu số nguyên tố là $p$.

Để ý rằng, một số nguyên được gọi là chẵn hoặc lẻ tuỳ thuộc vào việc chúng chia hết cho $2$ hoặc không. Rõ ràng, số nguyên dương chẵn lớn hơn $2$ không thể là số nguyên tố. Điều đó cũng đồng nghĩa với việc có duy nhất một số nguyên tố chẵn, đó là số $2$.

Sau đây là một khẳng định rất quan trọng. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

« Older entries