Chúng ta quan tâm đến vấn đề được Pólya đưa ra như sau đây
Bài toán. Giả sử $a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_m$ là các số nguyên dương phân biệt, $0 < a_1< a_2< \ldots < a_m$ và $P_1(x),\, P_2(x),\,\ldots ,\, P_m(x)$ là các đa thức hệ số nguyên khác đa thức 0. Khi đó dãy số nguyên cho bởi công thức dưới đây, sẽ có vô hạn ước nguyên tố$$f_n=a_1^nP_1(n)+a_2^nP_2(n)+ \ldots +a_m^nP_m(n)\quad\forall\,n\in\ZZ^+.$$
Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử hệ số bậc cao nhất của $P_m(x)$ là dương. Giả sử rằng $\mathfrak P\left(f_n\right)$ là tập hữu hạn, cụ thể[\mathfrak P\left(f_n\right)=\left{p_1,\,p_2,\,\ldots,\,p_t\right}.]Rõ ràng là $\lim f_n=+\infty$, cho nên tồn tại $N_0$ đủ lớn sao cho $f_{N_0}>1$ và đồng thời với số nguyên dương $m$ cho trước ta sẽ có[a_i^{N_0+n\varphi(m)}\equiv a_i^{N_0}\pmod m.]
Giả sử ta có phân tích ra thừa số nguyên tố của $f_{N_0}$ là[{f_{{N_0}}} = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}} \ldots p_t^{{k_t}};\;k_i\in\mathbb N.]
Đặt $M=p_1^{{1+k_1}}p_2^{{1+k_2}} \ldots p_t^{{1+k_t}}$ và $M’=p_1^{{2+k_1}}p_2^{{2+k_2}} \ldots p_t^{{2+k_t}}$, thế thì[\varphi \left( {M’} \right) = M\prod\limits_{1 \le i \le t} {\left( {{p_i} – 1} \right)} = {p_1}{p_2} \ldots {p_t}\varphi(M).] Điều đó kết hợp với $P_i(x)\in\ZZ[x]$ để thấy với mọi số nguyên dương $n$ ta có[{f_{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}} = \sum\limits_{1 \le j \le m} {a_j^{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}{P_j}\left( {{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)} \right)} \equiv \sum\limits_{1 \le j \le m} {a_j^{{N_0}}{P_j}\left( {{N_0}} \right) \equiv {f_{{N_0}}}} \pmod{M}.]Do $v_{p_i}\left(M\right)=1+v_{p_i}\left(f_{N_0}\right)\;\forall\,i=\overline{1,\,t}$, nên từ đó có được[{v_{{p_i}}}\left( {{f_{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}}} \right) = {v_{{p_i}}}\left( {{f_{{N_0}}}} \right)\quad\forall\,i=\overline{1,\,t},\;\forall\,n\in\mathbb Z^+.]
Điều đó cho thấy rằng[\lim {f_{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}} = {f_{{N_0}}}.]Kết quả vừa rút ra, trái với nhận xét từ ban đầu của chúng ta là $\lim f_n=+\infty$. \
Vậy, $\mathfrak P\left(f_n\right)$ phải là tập vô hạn.
\hfill$\square$\vspace{5mm}
Phản Hồi