Tháng Chín 2017

You are currently browsing the monthly archive for Tháng Chín 2017.

Chúng ta quan tâm đến vấn đề được Pólya đưa ra như sau đây

Bài toán. Giả sử $a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_m$ là các số nguyên dương phân biệt, $0 < a_1< a_2< \ldots < a_m$ và $P_1(x),\, P_2(x),\,\ldots ,\, P_m(x)$ là các đa thức hệ số nguyên khác đa thức 0. Khi đó dãy số nguyên cho bởi công thức dưới đây, sẽ có vô hạn ước nguyên tố$$f_n=a_1^nP_1(n)+a_2^nP_2(n)+ \ldots +a_m^nP_m(n)\quad\forall\,n\in\ZZ^+.$$

Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử hệ số bậc cao nhất của $P_m(x)$ là dương. Giả sử rằng $\mathfrak P\left(f_n\right)$ là tập hữu hạn, cụ thể[\mathfrak P\left(f_n\right)=\left{p_1,\,p_2,\,\ldots,\,p_t\right}.]Rõ ràng là $\lim f_n=+\infty$, cho nên tồn tại $N_0$ đủ lớn sao cho $f_{N_0}>1$ và đồng thời với số nguyên dương $m$ cho trước ta sẽ có[a_i^{N_0+n\varphi(m)}\equiv a_i^{N_0}\pmod m.]
Giả sử ta có phân tích ra thừa số nguyên tố của $f_{N_0}$ là[{f_{{N_0}}} = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}} \ldots p_t^{{k_t}};\;k_i\in\mathbb N.]
Đặt $M=p_1^{{1+k_1}}p_2^{{1+k_2}} \ldots p_t^{{1+k_t}}$ và $M’=p_1^{{2+k_1}}p_2^{{2+k_2}} \ldots p_t^{{2+k_t}}$, thế thì[\varphi \left( {M’} \right) = M\prod\limits_{1 \le i \le t} {\left( {{p_i} – 1} \right)} = {p_1}{p_2} \ldots {p_t}\varphi(M).] Điều đó kết hợp với $P_i(x)\in\ZZ[x]$ để thấy với mọi số nguyên dương $n$ ta có[{f_{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}} = \sum\limits_{1 \le j \le m} {a_j^{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}{P_j}\left( {{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)} \right)} \equiv \sum\limits_{1 \le j \le m} {a_j^{{N_0}}{P_j}\left( {{N_0}} \right) \equiv {f_{{N_0}}}} \pmod{M}.]Do $v_{p_i}\left(M\right)=1+v_{p_i}\left(f_{N_0}\right)\;\forall\,i=\overline{1,\,t}$, nên từ đó có được[{v_{{p_i}}}\left( {{f_{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}}} \right) = {v_{{p_i}}}\left( {{f_{{N_0}}}} \right)\quad\forall\,i=\overline{1,\,t},\;\forall\,n\in\mathbb Z^+.]
Điều đó cho thấy rằng[\lim {f_{{N_0} + n\varphi \left( M’ \right)}} = {f_{{N_0}}}.]Kết quả vừa rút ra, trái với nhận xét từ ban đầu của chúng ta là $\lim f_n=+\infty$. \

Vậy, $\mathfrak P\left(f_n\right)$ phải là tập vô hạn.   

\hfill$\square$\vspace{5mm}

Bài viết ngắn này, nói về phép chứng minh một tính chất rất đơn giản trong Số Học sơ cấp.

Định lý. Cho $a$ và $n$ là các số nguyên dương, khi đó nếu $\sqrt[n]{a}$ là một số hữu tỷ, thì sẽ tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho\[a=M^n.\] Read the rest of this entry »