Chúng ta quan tâm đến khẳng định sau.

Mệnh đề 1. Cho $\mathbb I$ là một gian $\mathbb R$, hàm $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb I$. Giả sử với mỗi số thực $x\in\mathbb I$, ta đều có $f'(x)\ge 0$ và tồn tại một dãy số chứa tất cả các nghiệm của phương trình $f'(x)=0$. khi đó, $f(x)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb R$. Read the rest of this entry »

Tags: , , , ,

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức hệ số thực, chúng ta quan tâm đến vấn đề là khi nào hàm số $h:\,\mathbb R\to\mathbb R$ với quy tắc tương ứng $h(x)=f(g(x))$ sẽ là một hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Rõ ràng, khi $f(x)$ hoặc $g(x)$ là hàm hằng thì $h(x)$ cũng là hàm hằng, do đó ta chỉ quan tâm đền tình huống $\deg f,\,\deg g>0$.

Do $\deg h=\deg f.\deg g$, và nếu $\deg h$ là một số nguyên dương chẵn thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } h\left( x \right) = + \infty .\]Từ đây thấy rõ ràng là khi một trong hai đa thức $f(x)$ hoặc $g(x)$ có bậc chẵn, thì $h(x)$ không thể là hàm đơn điệu trên $\mathbb R$. Cũng để ý rằng, nếu $f(g(x))$ là nghịch biến, thì $-f(g(x))$ là hàm đồng biến, thêm nữa là nếu $f(g(x))$ là hàm đồng biến thì sau việc lấy giới hạn ra vô cực, ta thấy là hệ số ứng với bậc cao nhất của nó phải cùng dấu, mà hệ số này lại cùng dấu với tích của hai hệ số ứng với bậc cao nhất của $f(x)$ và $g(x)$ (do $\deg f,\,\deg g$ đều lẻ). Vì lẽ đó, ta chỉ cần quan tâm đến câu hỏi sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Dân AnNam mình có truyền thống làm ít-hít nhiều, cứ nói đến thưởng cái gì là cãi vã toán loạn. Nên có lẽ, chúng ta cần quan tâm đến bài toán rất thực tế sau

Bài toán chia phần thưởng. Có $m$ phần thưởng khác nhau. Hỏi, có bao nhiêu cách chia chúng cho $n$ người sao cho ai cũng sẽ được ít nhất một phần thưởng?

Gọi $N(m,\,n)$ là số cách chia thưởng khác nhau, rõ ràng khi mà $m<n$ thì do số phần thưởng không đủ cho nên $N(m,\,n)=0$. Do vậy, ta chỉ cần xét tình huống $m\ge n$. Nếu như không quan tâm đến tình huống bất công, tức là ai đó sẽ chẳng nhận được phần thưởng gì, khi đó ta có bài toán rất dễ sau đây Read the rest of this entry »

Tags: ,

Chúng ta bàn đến việc phá các căn ở dạng $\sqrt{x^2+k}$, với $k$ là một hằng số. Trước tiên là một hoàn cảnh như sau.

Bài toán 1. Tính tích phân $I=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.
Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Đưa ra bài toán sau, như một ví dụ về tư tưởng Counting In Two Ways ngay trong một bài toán không rời rạc.

Bài toán. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện$$x^{2019}-x f(x)-f(x)^{2019}=1, \quad \forall x \in[0 ; 1].$$Tính tích phân $I=\int_{0}^{1}(x+f(x))^{2} \mathrm{d} x$. Read the rest of this entry »

Tags: , , ,

Bài toán. Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}_{n\in\mathbb N^*}$, thỏa mãn $a_1=a$ và\[a_{n+1}=a_n^2+1,\quad\forall\,n\in\mathbb N^*.\]Chứng minh rằng không tồn tại $n\in\mathbb N^*$ sao cho $\prod\limits_{1 \le k \le n} {\left( {a_k^2 + {a_k} + 1} \right)} $ là một số chính phương. Read the rest of this entry »

Tags: ,

Bài toán. Cho hình chóp $S.ABC$ có\[SA = a;{\mkern 1mu} \,SB = b;{\mkern 1mu} \,SC = c;\,\widehat {BSC} = \alpha ;\,\widehat {CSA} = \beta ;\,\widehat {ASB} = \gamma \]Tính thể tích của hình chóp $S.ABC$? Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $$M=|17\cos x+19\sin x|+|11\cos x+23\sin x|.$$

Lời giải. Xét các số phức $$z=\cos x+i\sin x,\quad \alpha =11-23i,\quad \beta=17-19i.$$Đặt $e=\frac{\beta}{\alpha}$, ta có $|e|=1$ và có các biến đổi-đánh giá sau Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $s_n$ là số cặp số nguyên $(x,\,y)$ thỏa mãn \[x^2+y^2\le n^2.\]Ở đây, nếu $a\ne b$ thì hai cặp $(a,\,b)$ và $(b,\,a)$ gọi là khác nhau, tính $\lim\dfrac{\sqrt{s_n}}{n}$. Read the rest of this entry »

Tags: , ,

Bài toán. Cho đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$.

  1.  Với $\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
  2.  Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để viết được $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Read the rest of this entry »

Tags: , ,

« Older entries